Calcule a integral de linha
\int_{\gamma} \frac{x d y-y d x}{x^{2}+y^{2}}
nos seguintes casos.
\gamma é o caminho definido pelo quadrirlátero A B C D tendo os vértices A=(1,0), B=(2,0), C=(3,4), D=(0,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma} \frac{x\,dy - y\,dx}{x^{2}+y^{2}}
onde \gamma é o caminho fechado dado pelo quadrilátero com vértices
A=(1,0),\quad B=(2,0),\quad C=(3,4),\quad D=(0,1)
supondo que \gamma percorre os vértices na ordem A\to B\to C\to D\to A.
Informações importantes fornecidas:
  • Os vértices e suas coordenadas são \;A=(1,0),\;B=(2,0),\;C=(3,4),\;D=(0,1).
  • O caminho é fechado (volta a A no final).
  • A integranda tem singularidade em (0,0), então é relevante saber se a curva envolve a origem ou não.

Passo 2

Vamos transformar a forma diferencial em algo mais fácil de interpretar. Use coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e \theta=\arg(x+iy) é o ângulo polar.
Calcule dx e dy:
dx = dr\cos\theta - r\sin\theta\,d\theta, \qquad dy = dr\sin\theta + r\cos\theta\,d\theta.
Agora compute o numerador x\,dy - y\,dx. Substituindo:
\begin{aligned} x\,dy - y\,dx &= (r\cos\theta)(dr\sin\theta + r\cos\theta\,d\theta) - (r\sin\theta)(dr\cos\theta - r\sin\theta\,d\theta)\\[4pt] &= r\cos\theta\,dr\sin\theta + r^{2}\cos^{2}\theta\,d\theta - r\sin\theta\,dr\cos\theta + r^{2}\sin^{2}\theta\,d\theta\\[4pt] &= r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)\,d\theta + r\,dr(\cos\theta\sin\theta-\sin\theta\cos\theta)\\[4pt] &= r^{2}\,d\theta. \end{aligned}
Portanto a forma integrada fica
\frac{x\,dy - y\,dx}{x^{2}+y^{2}} = \frac{r^{2}\,d\theta}{r^{2}} = d\theta.
Isso é um ponto-chave: a integranda é exatamente a diferencial do ângulo polar \theta.]

Passo 3

Interpretando o resultado: como \dfrac{x\,dy - y\,dx}{x^{2}+y^{2}} = d\theta, a integral ao longo de \gamma é o incremento total de \theta quando se percorre \gamma:
\int_{\gamma} \frac{x\,dy - y\,dx}{x^{2}+y^{2}} = \Delta_{\gamma}\theta,
isto é, a variação líquida do argumento \theta ao seguir a curva fechada. Para uma curva fechada essa variação é 2\pi vezes o número de voltas (winding number) que a curva faz em torno da origem. Em símbolos:
\int_{\gamma} \frac{x\,dy - y\,dx}{x^{2}+y^{2}} = 2\pi\,\mathrm{Ind}(\gamma,0),
onde \mathrm{Ind}(\gamma,0) é o índice de \gamma em relação à origem (um inteiro).
Logo basta determinar quantas vezes \gamma rodeia o ponto (0,0).

Passo 4

Vamos calcular as direções (ângulos) dos vértices em relação à origem, para ver como o ângulo varia ao percorrer A\to B\to C\to D\to A.
As args (ângulos) em radianos são:
\arg(A)=\arg(1,0)=0, \qquad \arg(B)=\arg(2,0)=0,
\arg\text{(C)}=\arg(3,4)=\arctan\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)\approx 0,9273, \qquad \arg(D)=\arg(0,1)=\tfrac{\pi}{2}\approx 1,5708.
Agora calcule os incrementos de ângulo ao longo de cada aresta, tomando sempre o incremento contínuo (i.e., escolha o representante de diferença de ângulo em (-\pi,\pi] que corresponde ao movimento real da curva):
  • De A para B: \Delta\theta_{AB}=0-0=0.
  • De B para C: \Delta\theta_{BC}=\arg\text{(C)}-\arg(B)=0,9273-0=0,9273.
  • De C para D: \Delta\theta_{CD}=\arg(D)-\arg\text{(C)}=1,5708-0,9273=0,6435.
  • De D para A: cuidado: \arg(A)=0 mas o caminho de D de volta a A segue pelo primeiro quadrante e o ângulo diminui de \tfrac{\pi}{2} para 0, então o incremento é \Delta\theta_{DA}=0-1,5708=-1,5708.
Some os incrementos:
\Delta_{\gamma}\theta = 0 + 0,9273 + 0,6435 - 1,5708 = 0 \quad(\text{aproximação numérica}).çãé
O resultado exato corresponde a \,0: não houve variação líquida do ângulo ao percorrer todo o polígono, isto é, a curva não dá volta completa em torno da origem. Portanto o índice \mathrm{Ind}(\gamma,0)=0.

Passo 5

Interpretação geométrica e conclusão final: todos os vértices têm coordenadas com x\ge 0 e y\ge 0 (ou seja, o quadrilátero está contido no primeiro quadrante e sobre as bordas x=0 e y=0 não passa pela origem), logo a curva pode ser contraída a um ponto sem cruzar a origem — está em uma região que não envolve o ponto (0,0). Isso confirma que a curva não envolve a origem e o índice é zero, então a integral é zero.

Resposta

0

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