Calcule a integral de linha
nos seguintes casos.
é o caminho definido pelo quadrirlátero
tendo os vértices
,
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é o caminho fechado dado pelo quadrilátero com vértices
supondo que
percorre os vértices na ordem
.
Informações importantes fornecidas:
- Os vértices e suas coordenadas são
. - O caminho é fechado (volta a
no final). - A integranda tem singularidade em
, então é relevante saber se a curva envolve a origem ou não.
Passo 2
Vamos transformar a forma diferencial em algo mais fácil de interpretar. Use coordenadas polares:
onde
e
é o ângulo polar.
Calcule
e
:
Agora compute o numerador
. Substituindo:
Portanto a forma integrada fica
Isso é um ponto-chave: a integranda é exatamente a diferencial do ângulo polar
.]
Passo 3
Interpretando o resultado: como
, a integral ao longo de
é o incremento total de
quando se percorre
:
isto é, a variação líquida do argumento
ao seguir a curva fechada. Para uma curva fechada essa variação é
vezes o número de voltas (winding number) que a curva faz em torno da origem. Em símbolos:
onde
é o índice de
em relação à origem (um inteiro).
Logo basta determinar quantas vezes
rodeia o ponto
.
Passo 4
Vamos calcular as direções (ângulos) dos vértices em relação à origem, para ver como o ângulo varia ao percorrer
.
As args (ângulos) em radianos são:
Agora calcule os incrementos de ângulo ao longo de cada aresta, tomando sempre o incremento contínuo (i.e., escolha o representante de diferença de ângulo em
que corresponde ao movimento real da curva):
- De
para : . - De
para : . - De
para : . - De
para : cuidado: mas o caminho de de volta a segue pelo primeiro quadrante e o ângulo diminui de para , então o incremento é .
Some os incrementos:
O resultado exato corresponde a
: não houve variação líquida do ângulo ao percorrer todo o polígono, isto é, a curva não dá volta completa em torno da origem. Portanto o índice
.
Passo 5
Interpretação geométrica e conclusão final: todos os vértices têm coordenadas com
e
(ou seja, o quadrilátero está contido no primeiro quadrante e sobre as bordas
e
não passa pela origem), logo a curva pode ser contraída a um ponto sem cruzar a origem — está em uma região que não envolve o ponto
. Isso confirma que a curva não envolve a origem e o índice é zero, então a integral é zero.