Calcule a integral de linha
\int_{\gamma} \frac{x d y-y d x}{x^{2}+y^{2}}
nos seguintes casos.
\gamma é o caminho definido pelo quadrado A B C D tendo os vértices A=(1,0), B=(0,1), C= (-1,0), D=(0,-1).

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados:
  • Pede calcular a integral de linha
\int_{\gamma}\frac{x\,dy-y\,dx}{x^{2}+y^{2}}.
  • O caminho \gamma é o polígono fechado com vértices, na ordem dada, A=(1,0), B=(0,1), C=(-1,0), D=(0,-1) e volta a A. Ou seja, percorre-se o quadrado/losango A\to B\to C\to D\to A.
  • Observações importantes extraídas do enunciado:
    • O caminho é fechado.
    • O ponto (0,0) (a origem) está no interior do quadrado definido por esses vértices; a curva não passa pela origem (as arestas são, por exemplo, a reta x+y=1 entre A e B, que não contém a origem).
  • Objetivo final: computar o valor numérico da integral ao longo de \gamma.

Passo 2

Interpretação da forma integranda e uma identidade útil (aulas rápidas de ideia):
  • Use coordenadas polares: defina x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, com r>0 e \theta o ângulo polar.
  • Calcule dx e dy:
dx = dr\cos\theta - r\sin\theta\,d\theta, \qquad dy = dr\sin\theta + r\cos\theta\,d\theta.
  • Agora compute o numerador x\,dy - y\,dx. Substituindo:
x\,dy - y\,dx = (r\cos\theta)(dr\sin\theta + r\cos\theta\,d\theta) - (r\sin\theta)(dr\cos\theta - r\sin\theta\,d\theta).
  • Simplificando termo a termo (observe que os termos com dr se cancelam):
x\,dy - y\,dx = r^{2}\cos^{2}\theta\,d\theta + r^{2}\sin^{2}\theta\,d\theta = r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)\,d\theta = r^{2}\,d\theta.
  • Portanto a razão do integrando simplifica para
\frac{x\,dy - y\,dx}{x^{2}+y^{2}} = \frac{r^{2}\,d\theta}{r^{2}} = d\theta.
Explicação didática: isso significa que, ao mover-se no plano sem passar pela origem, esse diferencial mede exatamente a variação do ângulo polar \theta.

Passo 3

Consequência prática da identidade: a integral ao longo de \gamma é a variação total do ângulo \theta quando se percorre a curva:
\int_{\gamma}\frac{x\,dy - y\,dx}{x^{2}+y^{2}} = \oint_{\gamma} d\theta = \Delta\theta_{\text{total}},
onde \Delta\theta_{\text{total}} é a mudança contínua de \theta ao seguir \gamma uma volta completa, escolhendo um ramo contínuo de \theta ao longo do percurso (isso é possível porque a curva não atravessa a origem).

Passo 4

Rastreando \theta ao longo dos vértices e usando a orientação dada:
  • Nos vértices temos os ângulos polares (uma escolha contínua de \theta ao longo do percurso que começa em A):
    • Em A=(1,0) podemos tomar \theta_A=0.
    • Em B=(0,1) tem \theta_B=\tfrac{\pi}{2}.
    • Em C=(-1,0) tem \theta_C=\pi.
    • Em D=(0,-1) tem \theta_D=\tfrac{3\pi}{2} (ou equivalentemente -\tfrac{\pi}{2}, mas para manter continuidade seguimos a sequência crescente).
  • O percurso A\to B\to C\to D\to A segue no sentido anti-horário (sentido positivo), portanto \theta aumenta continuamente ao longo de cada aresta: de 0 até \tfrac{\pi}{2}, depois até \pi, depois até \tfrac{3\pi}{2} e finalmente volta para 2\pi ao retornar a A.
  • Assim a variação contínua total de \theta ao completar a volta é
\Delta\theta_{\text{total}} = 2\pi - 0 = 2\pi.
(Geometricamente: a curva circunda a origem exatamente uma vez no sentido anti-horário, então o ângulo polar aumenta em 2\pi.)

Passo 5

Conclusão final ligando tudo:
  • Como a integral é igual à variação total de \theta e essa variação vale 2\pi, segue que
\int_{\gamma}\frac{x\,dy-y\,dx}{x^{2}+y^{2}} = 2\pi.

Resposta

2\pi

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