Calcule a integral de linha
nos seguintes casos.
é o caminho definido pelo quadrado
tendo os vértices
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados:
- Pede calcular a integral de linha
- O caminho
é o polígono fechado com vértices, na ordem dada, , , , e volta a . Ou seja, percorre-se o quadrado/losango . - Observações importantes extraídas do enunciado:
- O caminho é fechado.
- O ponto
(a origem) está no interior do quadrado definido por esses vértices; a curva não passa pela origem (as arestas são, por exemplo, a reta entre e , que não contém a origem).
- Objetivo final: computar o valor numérico da integral ao longo de
.
Passo 2
Interpretação da forma integranda e uma identidade útil (aulas rápidas de ideia):
- Use coordenadas polares: defina
e , com e o ângulo polar. - Calcule
e :
- Agora compute o numerador
. Substituindo:
- Simplificando termo a termo (observe que os termos com
se cancelam):
- Portanto a razão do integrando simplifica para
Explicação didática: isso significa que, ao mover-se no plano sem passar pela origem, esse diferencial mede exatamente a variação do ângulo polar
.
Passo 3
Consequência prática da identidade: a integral ao longo de
é a variação total do ângulo
quando se percorre a curva:
onde
é a mudança contínua de
ao seguir
uma volta completa, escolhendo um ramo contínuo de
ao longo do percurso (isso é possível porque a curva não atravessa a origem).
Passo 4
Rastreando
ao longo dos vértices e usando a orientação dada:
- Nos vértices temos os ângulos polares (uma escolha contínua de
ao longo do percurso que começa em ): - Em
podemos tomar . - Em
tem . - Em
tem . - Em
tem (ou equivalentemente , mas para manter continuidade seguimos a sequência crescente).
- Em
- O percurso
segue no sentido anti-horário (sentido positivo), portanto aumenta continuamente ao longo de cada aresta: de até , depois até , depois até e finalmente volta para ao retornar a . - Assim a variação contínua total de
ao completar a volta é
(Geometricamente: a curva circunda a origem exatamente uma vez no sentido anti-horário, então o ângulo polar aumenta em
.)
Passo 5
Conclusão final ligando tudo:
- Como a integral é igual à variação total de
e essa variação vale , segue que