Resolva as equações diferenciais de Riccati a seguir. Utilize uma solução particular para reduzir a equação a uma equação linear.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
utilizando uma solução particular para reduzir a equação a uma equação linear. Informação dada e o que se pede:
- A equação diferencial é de primeira ordem e tem coeficientes constantes.
- Pede-se a solução geral
, usando explicitamente uma solução particular para fazer a redução.
Passo 2
Procurar uma solução particular simples: tentar uma solução constante
. Para uma solução constante tem-se
, portanto
deve satisfazer
Resolvendo essa equação algébrica:
Observa-se que a quadrática é um quadrado perfeito:
logo
é uma solução particular (única raiz dupla). Portanto
é uma solução constante da equação diferencial.
Passo 3
Explicar o método de redução com uma solução particular (aulas práticas):
- Se
for uma solução particular da equação de tipo , então a substituição
transforma a equação de Riccati numa equação linear de primeira ordem para
. Vou mostrar a derivação no caso em que
é constante (aqui
), porque fica mais simples e é o nosso caso.
Derivando a substituição:
Substituindo em
com
e lembrando que
(pois
é solução particular), obtemos, após multiplicar por
,
Esse passo vem de expandir os termos em potências de
e usar que a parte independente (que multiplica
) é zero. A equação resultante é linear em
.
Passo 4
Aplicar com
. Calcular o coeficiente
:
Então a equação para
simplifica muito:
ou seja
Passo 5
Resolver a equação linear simples para
:
onde
é constante de integração.
Passo 6
Voltar à substituição
com
e
:
Esse é o conjunto das soluções não-constantes (para valores de
tais que
). Além disso, a solução constante
já foi encontrada no Passo 2 e deve ser incluída como caso especial.