Resolva as equações diferenciais de Riccati a seguir. Utilize uma solução particular para reduzir a equação a uma equação linear.
y^{\prime}=4+4 y+y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' = 4 + 4y + y^{2},
utilizando uma solução particular para reduzir a equação a uma equação linear. Informação dada e o que se pede:
  • A equação diferencial é de primeira ordem e tem coeficientes constantes.
  • Pede-se a solução geral y(x), usando explicitamente uma solução particular para fazer a redução.

Passo 2

Procurar uma solução particular simples: tentar uma solução constante y(x)=y_p. Para uma solução constante tem-se y_p'=0, portanto y_p deve satisfazer
0 = 4 + 4y_p + y_p^{2}.
Resolvendo essa equação algébrica:
y_p^{2}+4y_p+4=0.
Observa-se que a quadrática é um quadrado perfeito:
y_p^{2}+4y_p+4=(y_p+2)^{2}=0,
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y_p=-2
é uma solução particular (única raiz dupla). Portanto y(x)=-2 é uma solução constante da equação diferencial.

Passo 3

Explicar o método de redução com uma solução particular (aulas práticas):
  • Se y_p(x) for uma solução particular da equação de tipo y'=a(x)+b(x)y+c(x)y^{2}, então a substituição
y = y_p + \frac{1}{u}
transforma a equação de Riccati numa equação linear de primeira ordem para u. Vou mostrar a derivação no caso em que y_p é constante (aqui y_p' = 0), porque fica mais simples e é o nosso caso.
Derivando a substituição:
y' = -\frac{u'}{u^{2}}.
Substituindo em
y' = 4 + 4y + y^{2}
com y=y_p+\dfrac{1}{u} e lembrando que 4+4y_p+y_p^{2}=0 (pois y_p é solução particular), obtemos, após multiplicar por u^{2},
- u' = u\,(4 + 2y_p) + 1.
Esse passo vem de expandir os termos em potências de u e usar que a parte independente (que multiplica u^{2}) é zero. A equação resultante é linear em u.

Passo 4

Aplicar com y_p=-2. Calcular o coeficiente 4+2y_p:
4 + 2y_p = 4 + 2(-2) = 4 - 4 = 0.
Então a equação para u simplifica muito:
- u' = 0\cdot u + 1 \quad\Rightarrow\quad -u' = 1,
ou seja
u' = -1.

Passo 5

Resolver a equação linear simples para u:
u' = -1 \quad\Rightarrow\quad u(x) = -x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Voltar à substituição y = y_p + \dfrac{1}{u} com y_p=-2 e u=-x+C:
y(x) = -2 + \frac{1}{-x + C} = -2 + \frac{1}{C - x}.
Esse é o conjunto das soluções não-constantes (para valores de x tais que C-x\neq 0). Além disso, a solução constante y(x)=-2 já foi encontrada no Passo 2 e deve ser incluída como caso especial.

Resposta

y(x) = -2 + \dfrac{1}{C - x}, onde C é constante arbitrária.
y(x) = -2.

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