Resolva as equações diferenciais de Riccati a seguir. Utilize uma solução particular para reduzir a equação a uma equação linear.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando uma solução particular para reduzir a equação a uma equação linear. Informações dadas:
- A equação é de primeira ordem e tem o termo quadrático
. - Deve-se encontrar uma solução geral, usando uma solução particular conhecida para transformar a Riccati em uma equação linear de primeira ordem.
Passo 2
Procuro soluções particulares constantes. Se
for constante
então
e vale
Resolvo a quadrática em
. Note que o polinômio se fatoriza:
logo as raízes são
e
. Portanto existem duas soluções particulares constantes:
Passo 3
Escolho uma dessas soluções particulares (por exemplo
) para fazer a redução. A técnica padrão é a substituição
onde
é uma nova função a determinar. Aqui:
Vou explicar por que isso ajuda: essa substituição cancela o termo quadrático em
quando se usa uma solução particular, transformando a equação em uma equação linear de primeira ordem em
. Agora calculo
em termos de
:
Passo 4
Substituo
e
na equação original. A RHS com
é
Faço as contas passo a passo:
Agrupando termos constantes e em potências de
:
portanto a RHS fica
Igualando com
obtemos
Multiplicando ambos os lados por
(observando que
onde a substituição é válida):
Reescrevo na forma padrão de equação linear de primeira ordem para
:
Passo 5
Agora resolvo a equação linear
Vou explicar o método do fator integrante: para uma equação da forma
, o fator integrante é
. Aqui
, logo o fator integrante é
. Multiplico a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
, isto é
Integro ambos os lados:
onde
é constante de integração. Assim
Passo 6
Volto à substituição
. Com
obtenho
Posso reescrever de forma equivalente multiplicando numerador e denominador por
:
Então uma forma alternativa para a solução geral é
Atente que as soluções estão definidas onde o denominador não zera, isto é
(ou
em cada ponto). Além disso, as soluções particulares constantes
e
já identificadas também são soluções da equação original (são estados estacionários).
Passo 7
Para referência rápida: se em vez de
tivesse usado
a mesma técnica dá a família equivalente
que é apenas outra forma parametrizada da família geral obtida anteriormente (a diferença é apenas reparametrização da constante arbitrária).