Calcule a integral de linha
onde
, com
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
ao longo da curva parametrizada por
Informações dadas e o que se pede:
- A curva está dada explicitamente por
, , . - O intervalo do parâmetro é
. - Pergunta: calcular o valor numérico da integral de linha indicada.
Passo 2
Método que vamos usar (fórmula e ideia):
- Para uma 1-forma
e uma parametrização , a integral de linha é
- Aqui
, , . - Vamos aplicar a fórmula acima, calcular
, substituir, obter uma função de e integrar de a .
Passo 3
Calcular as derivadas das coordenadas (essas derivadas entram na fórmula):
Passo 4
Avaliar
ao longo da curva:
- Primeiro
:
Multiplicando termo a termo:
Assim,
- Em seguida
:
- E
já calculado acima será também usado para .
Passo 5
Construir a função integranda usando a fórmula do Passo 2:
Substituindo:
Note um truque prático:
, então
Agora substituímos as expressões obtidas:
Expandindo
(passo a passo):
Multiplicando por
:
Somando as parcelas para obter
:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 6
Integrar
de
a
:
Integramos termo a termo:
Passo 7
Somar os resultados das integrais parciais:
Portanto o valor da integral de linha é
.