Calcule a integral de linha
\int_{\gamma} x y d x+x^{2} d y+x y d z
onde \gamma(t)=\underbrace{(3 t-1}_{x}, \underbrace{3 t^{2}-2 t}_{y}, 1), com 0 \leq t \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma} x y\,d x + x^{2}\,d y + x y\,d z
ao longo da curva parametrizada por
\gamma(t) = \bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) = \bigl(3t-1,\;3t^{2}-2t,\;1\bigr), \qquad 0 \le t \le 2.
Informações dadas e o que se pede:
  • A curva está dada explicitamente por x(t)=3t-1, y(t)=3t^{2}-2t, z(t)=1.
  • O intervalo do parâmetro é t\in[0,2].
  • Pergunta: calcular o valor numérico da integral de linha indicada.

Passo 2

Método que vamos usar (fórmula e ideia):
  • Para uma 1-forma P\,dx+Q\,dy+R\,dz e uma parametrização \gamma(t)=(x(t),y(t),z(t)), a integral de linha é
\int_{\gamma} P\,dx+Q\,dy+R\,dz = \int_{a}^{b}\bigl(P(x(t),y(t),z(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))\,y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))\,z'(t)\bigr)\,dt.
  • Aqui P(x,y,z)=x y, Q(x,y,z)=x^{2}, R(x,y,z)=x y.
  • Vamos aplicar a fórmula acima, calcular x'(t),y'(t),z'(t), substituir, obter uma função de t e integrar de 0 a 2.

Passo 3

Calcular as derivadas das coordenadas (essas derivadas entram na fórmula):
x(t)=3t-1 \quad\Rightarrow\quad x'(t)=3,
y(t)=3t^{2}-2t \quad\Rightarrow\quad y'(t)=6t-2,
z(t)=1 \quad\Rightarrow\quad z'(t)=0.

Passo 4

Avaliar P,Q,R ao longo da curva:
  • Primeiro x(t)\,y(t):
x(t)\,y(t)=(3t-1)(3t^{2}-2t).
Multiplicando termo a termo:
(3t-1)(3t^{2}-2t)=9t^{3}-6t^{2}-3t^{2}+2t=9t^{3}-9t^{2}+2t.
Assim,
x(t)y(t)=9t^{3}-9t^{2}+2t.
  • Em seguida x(t)^{2}:
x(t)^{2}=(3t-1)^{2}=9t^{2}-6t+1.
  • E x(t)y(t) já calculado acima será também usado para R.

Passo 5

Construir a função integranda usando a fórmula do Passo 2:
f(t)=P(x(t),y(t),z(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))\,y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))\,z'(t).
Substituindo:
f(t) = \bigl(x(t)y(t)\bigr)\cdot 3 + \bigl(x(t)^{2}\bigr)\cdot(6t-2) + \bigl(x(t)y(t)\bigr)\cdot 0.
Note um truque prático: 6t-2=2(3t-1)=2x(t), então
x(t)^{2}\,(6t-2)=x(t)^{2}\cdot 2x(t)=2x(t)^{3}.
Agora substituímos as expressões obtidas:
3\,x(t)y(t)=3\bigl(9t^{3}-9t^{2}+2t\bigr)=27t^{3}-27t^{2}+6t,
2x(t)^{3}=2(3t-1)^{3}.
Expandindo (3t-1)^{3} (passo a passo):
(3t-1)^{2}=9t^{2}-6t+1,
(3t-1)^{3}=(9t^{2}-6t+1)(3t-1)=27t^{3}-27t^{2}+9t-1.
Multiplicando por 2:
2(3t-1)^{3}=54t^{3}-54t^{2}+18t-2.
Somando as parcelas para obter f(t):
f(t)=(27t^{3}-27t^{2}+6t)+(54t^{3}-54t^{2}+18t-2).
Agrupando termos semelhantes:
f(t)=81t^{3}-81t^{2}+24t-2.

Passo 6

Integrar f(t) de 0 a 2:
\int_{0}^{2} f(t)\,dt = \int_{0}^{2}\bigl(81t^{3}-81t^{2}+24t-2\bigr)\,dt.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{2}81t^{3}\,dt = 81\cdot\frac{t^{4}}{4}\Big|_{0}^{2}=81\cdot\frac{16}{4}=81\cdot 4=324,
\int_{0}^{2}-81t^{2}\,dt = -81\cdot\frac{t^{3}}{3}\Big|_{0}^{2}=-81\cdot\frac{8}{3}=-216,
\int_{0}^{2}24t\,dt = 24\cdot\frac{t^{2}}{2}\Big|_{0}^{2}=24\cdot 2=48,
\int_{0}^{2}-2\,dt = -2\cdot t\Big|_{0}^{2}=-4.

Passo 7

Somar os resultados das integrais parciais:
324 + (-216) + 48 + (-4) = 324-216+48-4 = 152.
Portanto o valor da integral de linha é 152.

Resposta

152

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