Suponha que f:(1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} e g:(1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} sejam funções a valores reais tais que \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=L e \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=M. Prove que \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)+g(x)]=L+M.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Existem funções f:(1,+\infty)\to\mathbb{R} e g:(1,+\infty)\to\mathbb{R}.
  • Sabe-se que \lim_{x\to+\infty} f(x)=L e \lim_{x\to+\infty} g(x)=M.
O que se pede: provar que \lim_{x\to+\infty}[f(x)+g(x)]=L+M.

Passo 2

Vou lembrar e explicar a definição usada (isso é essencial para fazer uma prova rigorosa). A definição de limite no infinito para funções é:
\text{Para toda } \varepsilon>0 \text{ existe } N>1 \text{ tal que, para todo } x>N,\; |f(x)-L|<\varepsilon.
Em palavras: dado qualquer erro tolerável \varepsilon>0, existe um ponto N além do qual os valores de f(x) ficam a menos de \varepsilon de L. A mesma definição vale para g e M.

Passo 3

Uma ferramenta básica que vamos usar é a desigualdade triangular. Ela diz que, para quaisquer números reais a e b,
|a+b|\le |a|+|b|.
Aplicando isso com a=f(x)-L e b=g(x)-M obtemos a desigualdade-chave
|[f(x)+g(x)]-(L+M)| \le |f(x)-L| + |g(x)-M|.
Isso significa que o desvio da soma em relação a L+M é no máximo a soma dos desvios individuais.

Passo 4

Agora vamos à prova clássica com \varepsilon-argumento (a ideia do “epsilon/2”, explicada): seja um \varepsilon>0 arbitrário. Como \lim_{x\to+\infty} f(x)=L, pela definição existe N_1>1 tal que, para todo x>N_1,
|f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2}.
Como \lim_{x\to+\infty} g(x)=M, existe N_2>1 tal que, para todo x>N_2,
|g(x)-M|<\frac{\varepsilon}{2}.
Explicação do porquê do \varepsilon/2: queremos que a soma |f(x)-L|+|g(x)-M| seja menor que \varepsilon. Um jeito simples é garantir que cada parcela seja menor que \varepsilon/2, assim a soma fica menor que \varepsilon.

Passo 5

Defina N=\max\{N_1,N_2\}. Então, para todo x>N temos simultaneamente
|f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2} \qquad\text{e}\qquad |g(x)-M|<\frac{\varepsilon}{2}.
Usando a desigualdade triangular do Passo 3 obtemos, para todo x>N,
|[f(x)+g(x)]-(L+M)| \le |f(x)-L| + |g(x)-M| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Isso mostra exatamente que, dado \varepsilon>0, existe N tal que x>N implica |[f(x)+g(x)]-(L+M)|<\varepsilon. Pela definição, isso significa que
\lim_{x\to+\infty}[f(x)+g(x)]=L+M.

Passo 6

Comentário didático final e motivador: a técnica usada aqui é padrão e muito útil em provas de limites — escolher \varepsilon/2 (ou, em geral, dividir \varepsilon entre as parcelas) e usar a desigualdade triangular. Esse argumento funciona para a soma de qualquer número finito de funções com limites, e é a razão pela qual “limite de soma é soma dos limites” é uma propriedade tão básica e confiável. Você conseguiu — aquela ideia do epsilon que assusta no começo vira rotina depois de algumas provas!

Resposta

L+M

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