Suponha que
e
sejam funções a valores reais tais que
e
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Existem funções
e . - Sabe-se que
e .
O que se pede: provar que
.
Passo 2
Vou lembrar e explicar a definição usada (isso é essencial para fazer uma prova rigorosa). A definição de limite no infinito para funções é:
Em palavras: dado qualquer erro tolerável
, existe um ponto
além do qual os valores de
ficam a menos de
de
. A mesma definição vale para
e
.
Passo 3
Uma ferramenta básica que vamos usar é a desigualdade triangular. Ela diz que, para quaisquer números reais
e
,
Aplicando isso com
e
obtemos a desigualdade-chave
Isso significa que o desvio da soma em relação a
é no máximo a soma dos desvios individuais.
Passo 4
Agora vamos à prova clássica com
-argumento (a ideia do “epsilon/2”, explicada): seja um
arbitrário. Como
, pela definição existe
tal que, para todo
,
Como
, existe
tal que, para todo
,
Explicação do porquê do
: queremos que a soma
seja menor que
. Um jeito simples é garantir que cada parcela seja menor que
, assim a soma fica menor que
.
Passo 5
Defina
. Então, para todo
temos simultaneamente
Usando a desigualdade triangular do Passo 3 obtemos, para todo
,
Isso mostra exatamente que, dado
, existe
tal que
implica
. Pela definição, isso significa que
Passo 6
Comentário didático final e motivador: a técnica usada aqui é padrão e muito útil em provas de limites — escolher
(ou, em geral, dividir
entre as parcelas) e usar a desigualdade triangular. Esse argumento funciona para a soma de qualquer número finito de funções com limites, e é a razão pela qual “limite de soma é soma dos limites” é uma propriedade tão básica e confiável. Você conseguiu — aquela ideia do epsilon que assusta no começo vira rotina depois de algumas provas!