Suponha que f:(1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} e g:(1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} sejam funções a valores reais tais que \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=L e \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=+\infty. Prove que \lim _{x \rightarrow+\infty} f(g(x))=L.
Bom trabalho!

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
  • Informação 1: f:(1,+\infty)\to\mathbb{R} e existe L\in\mathbb{R} tal que \displaystyle\lim_{t\to+\infty} f(t)=L.
  • Informação 2: g:(1,+\infty)\to\mathbb{R} e \displaystyle\lim_{x\to+\infty} g(x)=+\infty.
O que é pedido: provar que
\lim_{x\to+\infty} f(g(x))=L.

Passo 2

Vamos lembrar (explicar) exatamente o que significam as duas propriedades dadas, usando a definição \varepsilon- M e \varepsilon- X de limite quando a variável vai para +\infty.
  • A afirmação \displaystyle\lim_{t\to+\infty} f(t)=L significa: para todo \varepsilon>0 existe um número M>0 tal que, para todo t com t>M, tem-se
|f(t)-L|<\varepsilon.
Aqui t é a variável de f (ou seja, um argumento de f), e M é um limite para essa variável acima do qual f(t) fica a menos de \varepsilon de L.
  • A afirmação \displaystyle\lim_{x\to+\infty} g(x)=+\infty significa: para todo M>0 existe um número X>0 tal que, para todo x com x>X, tem-se
g(x)>M.
Aqui x é a variável de g, e a propriedade diz que g(x) fica arbitrariamente grande quando x é suficientemente grande.
Essas duas definições são as ferramentas que vamos combinar.

Passo 3

Ideia da prova (intuição): como f(t) fica perto de L sempre que t for suficientemente grande, e g(x) torna-se arbitrariamente grande quando x cresce, então para x grande o valor g(x) será um t grande, logo f(g(x)) deverá ficar perto de L. Agora vamos transformar essa ideia em prova formal com \varepsilon.

Passo 4

Prova formal usando \varepsilon:
Seja \varepsilon>0 arbitrário. Pela definição de \displaystyle\lim_{t\to+\infty} f(t)=L, existe M>0 tal que, para todo t com t>M,
|f(t)-L|<\varepsilon.
Agora, usando que \displaystyle\lim_{x\to+\infty} g(x)=+\infty, aplicado ao mesmo M acima, existe X>0 tal que, para todo x com x>X,
g(x)>M.

Passo 5

Concluindo o argumento:
Tomando qualquer x com x>X temos g(x)>M. Então, colocando t=g(x) na desigualdade obtida para f, obtemos
|f(g(x))-L|<\varepsilon.
Isso mostra que para todo \varepsilon>0 existe X>0 (o mesmo X acima) tal que, sempre que x>X, vale |f(g(x))-L|<\varepsilon. Pela definição de limite, isto significa exatamente que
\lim_{x\to+\infty} f(g(x))=L.

Resposta

L

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