Suponha que
e
sejam funções a valores reais tais que
e
. Prove que
.
Bom trabalho!
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
- Informação 1:
e existe tal que . - Informação 2:
e .
O que é pedido: provar que
Passo 2
Vamos lembrar (explicar) exatamente o que significam as duas propriedades dadas, usando a definição
-
e
-
de limite quando a variável vai para
.
- A afirmação
significa: para todo existe um número tal que, para todo com , tem-se
Aqui
é a variável de
(ou seja, um argumento de
), e
é um limite para essa variável acima do qual
fica a menos de
de
.
- A afirmação
significa: para todo existe um número tal que, para todo com , tem-se
Aqui
é a variável de
, e a propriedade diz que
fica arbitrariamente grande quando
é suficientemente grande.
Essas duas definições são as ferramentas que vamos combinar.
Passo 3
Ideia da prova (intuição): como
fica perto de
sempre que
for suficientemente grande, e
torna-se arbitrariamente grande quando
cresce, então para
grande o valor
será um
grande, logo
deverá ficar perto de
. Agora vamos transformar essa ideia em prova formal com
.
Passo 4
Prova formal usando
:
Seja
arbitrário. Pela definição de
, existe
tal que, para todo
com
,
Agora, usando que
, aplicado ao mesmo
acima, existe
tal que, para todo
com
,
Passo 5
Concluindo o argumento:
Tomando qualquer
com
temos
. Então, colocando
na desigualdade obtida para
, obtemos
Isso mostra que para todo
existe
(o mesmo
acima) tal que, sempre que
, vale
. Pela definição de limite, isto significa exatamente que