Calcule a integral de linha
integralC(x^2+y^2) d s
onde C: x^2+y^2=4,0 <= t <= pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo escalar sobre a semicircunferência de raio 2 dada por x^2+y^2=4 de t=0 a t=pi. O conteúdo envolvido é integral de linha de função escalar f(x,y) em termos de ds e vamos usar a parametrização da curva e a fórmula
integralC f(x,y),ds = integrala^b fl(x(t),y(t)r)raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2,dt

Passo 2

Para parametrizar a semicircunferência de raio 2, escolhemos
x(t)=2cos t,
y(t)=2sin t,
com 0<= t<=pi. Nesse caso, o integrando x^2+y^2 fica
fl(x(t),y(t)r) = (2cos t)^2+(2sin t)^2 = 4(cos^2t+sin^2t) = 4

Passo 3

Agora calculamos o elemento de comprimento ds. Derivando a parametrização,
x'(t) = -2sin t,
y'(t) = 2cos t
Logo,
raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2 = raiz4sin^2t+4cos^2t = 2

Passo 4

Substituindo tudo na integral,
integralC (x^2+y^2),ds = integral0^pi 4 cdot 2,dt = 8 integral0^pi dt = 8pi

Resposta

8pi

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