Calcule a integral de linha integralC(x y+x+y) d s ao longo da curva y=x de (-1,-1) até (2,2).

Passo 1

Resumo da questão: a gente precisa calcular a integral de linha integralC (xy + x + y),ds ao longo da reta y = x indo de (-1,-1) até (2,2). O conteúdo é integral de linha de um campo escalar em relação ao comprimento de arco, e vamos precisar parametrizar a curva, achar ds e fazer a substituição.

Passo 2

Parametrização da curva: como y = x, podemos usar r(t) = (t, t) com t variando de -1 até 2. Então x(t)=t e y(t)=t.
Cálculo de ds: derivando r(t), temos r'(t) = (1,1), logo
ds = |r'(t)|,dt = raiz1^2+1^2,dt = raiz2,dt
Expressão do integrando em função de t: substituindo x=t e y=t em xy + x + y, obtemos
xy + x + y = t^2 + t + t = t^2 + 2t

Passo 3

Montando a integral:
I = integralC (xy + x + y),ds = integral-1^2 (t^2 + 2t),raiz2,dt = raiz2 integral-1^2 (t^2 + 2t),dt
Cálculo da integral em t: a primitiva de t^2 + 2t é t^33 + t^2. Avaliando de -1 a 2:
(2^33 + 2^2) - ((-1)^33 + (-1)^2) = (83 + 4) - (-13 + 1) = 203 - 23 = 6

Passo 4

Multiplicando pelo raiz2: o valor da integral é 6raiz2.

Resposta

6raiz2

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