Calcular os seguintes limites:
lim x 0 e^x-cos xx

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 0 e^x - cos xx
Aqui, estamos trabalhando com limites, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar usar as expansões em série de Taylor para as funções $ e^{x} $ e $ \cos x $, o que vai nos ajudar a simplificar a expressão e encontrar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as expansões em série de Taylor das funções $ e^{x} $ e $ \cos x $ em torno de $ x = 0 $:
e^x
cos x
Essas séries nos permitem aproximar as funções para valores de $ x $ próximos de 0.

Passo 3

Vamos substituir essas expansões na expressão original:
e^x - cos x = (1 + x + x^22 + x^36 + cdots) - (1 - x^22 + x^424 - cdots)
Simplificando, temos:
e^x - cos x = x + x^22 + x^36 + x^22 - x^424 + cdots
Agrupando os termos semelhantes:
e^x - cos x = x + x^2 + x^36 - x^424 + cdots

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na fração do limite:
e^x - cos xx = x + x^2 + x^36 - x^424 + cdotsx
Dividindo cada termo por $ x $:
x
Agora, para encontrar o limite quando $ x $ se aproxima de 0, observamos que os termos que contêm $ x $ vão se tornar insignificantes.

Passo 5

Tomando o limite de cada termo:
lim x 0 (1 + x + x^26 - x^324 + cdots) = 1 + 0 + 0 - 0 + cdots = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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