Calcular os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos trabalhando com limites, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar usar as expansões em série de Taylor para as funções $ e^{x} $ e $ \cos x $, o que vai nos ajudar a simplificar a expressão e encontrar o valor do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as expansões em série de Taylor das funções $ e^{x} $ e $ \cos x $ em torno de $ x = 0 $:
Essas séries nos permitem aproximar as funções para valores de $ x $ próximos de 0.
Passo 3
Vamos substituir essas expansões na expressão original:
Simplificando, temos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão na fração do limite:
Dividindo cada termo por $ x $:
Agora, para encontrar o limite quando $ x $ se aproxima de 0, observamos que os termos que contêm $ x $ vão se tornar insignificantes.
Passo 5
Tomando o limite de cada termo:
Resposta
O limite é igual a
.