Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
.
,
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente precisa calcular a integral de linha
, onde a curva
é definida pela função vetorial
, para
entre
e
. O campo vetorial
é dado por
. Para resolver isso, vamos usar a parametrização da curva e aplicar a definição da integral de linha.
Passo 2
A integral de linha
pode ser calculada usando a fórmula:
Aqui,
é a parametrização da curva, e
é a derivada dessa parametrização em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
, que é a derivada de
:
Passo 4
Agora, substituímos
na função
para obter
:
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Finalmente, integramos essa expressão de
a
:
Calculando cada integral separadamente:
Encontrando o denominador comum (143):
Então:
Resposta
A integral de linha é
.