Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é dada pela função vetorial r(t).
F(x, y, z)=(y+z) i-x^2 j-4 y^2 k,
r(t)=t i+t^2 j+t^4 k, 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha integralC F cdot d r onde a curva C é definida pela função vetorial r(t) = t i + t^2 j + t^4 k para 0 <= t <= 1. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial r(t), substituir na função campo F, e então realizar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial r(t) em relação a t. A função r(t) = t i + t^2 j + t^4 k representa a parametrização da curva C.
A derivada r'(t) é dada por:
r'(t) = ddt( t i + t^2 j + t^4 k ) = i + 2t j + 4t^3 k

Passo 3

Agora, vamos substituir a parametrização r(t) na função campo F(x, y, z) = (y + z) i - x^2 j - 4y^2 k.
Substituindo x = t, y = t^2 e z = t^4, temos:
F(r(t)) = (t^2 + t^4) i - t^2 j - 4(t^2)^2 k = (t^2 + t^4) i - t^2 j - 4t^4 k

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar F(r(t)) cdot r'(t). Isso significa multiplicar componente a componente e somar os resultados.
F(r(t)) cdot r'(t) = (t^2 + t^4)(1) + (-t^2)(2t) + (-4t^4)(4t^3)
= t^2 + t^4 - 2t^3 - 16t^7

Passo 5

Agora, precisamos integrar essa expressão de t = 0 a t = 1 para encontrar o valor da integral de linha.
integral0^1 (t^2 + t^4 - 2t^3 - 16t^7) , dt
Vamos integrar termo a termo:
integral t^2 , dt = t^33
integral t^4 , dt = t^55
integral -2t^3 , dt = -2t^44 = -t^42
integral -16t^7 , dt = -16t^88 = -2t^8

Passo 6

Agora, avaliamos as integrais de 0 a 1:
[ t^33 + t^55 - t^42 - 2t^8 ]0^1 = ( 13 + 15 - 12 - 2 ) - 0
Vamos somar as frações:
13 + 15 = 5 + 315 = 815
815 - 12 = 16 - 1530 = 130
130 - 2 = 1 - 6030 = -5930

Resposta

O valor da integral de linha é -5930.

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