Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é dada pela função vetorial r(t).
F(x, y, z)=(y+z) i-x^2 j-4 y^2 k,
r(t)=t i+t^2 j+t^4 k, 0 <=q t <=q 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCFcdot dr
onde
F(x,y,z)=(y+z),i-x^2,j-4y^2,k
e
r(t)=t,i+t^2,j+t^4,k, 0<= t<=1
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial por parametrização: vamos achar r'(t), substituir na F, fazer o produto escalar F(r(t))cdotr'(t) e integrar em t.

Passo 2

Calculamos a derivada da parametrização:
r'(t)=ddtl(t,,t^2,,t^4r)=(1,,2t,,4t^3)

Passo 3

Substituímos r(t) em F:
F(r(t)) =l(t^2+t^4,,-t^2,,-4,t^4r)

Passo 4

Fazemos o produto escalar
F(r(t))cdotr'(t) =(t^2+t^4)cdot1+(-t^2)cdot(2t)+(-4t^4)cdot(4t^3)
= t^2+t^4-2t^3-16t^7

Passo 5

Integramos de 0 a 1:
integral0^1(t^2-2t^3+t^4-16t^7),dt =l[tfract^33-tfract^42+tfract^55-2t^8r]0^1

Passo 6

Avaliamo em t=1 e t=0:
13-12+15-2 =5+315-12-2 =815-12-2 =130-2 =-5930

Resposta

-tfrac5930

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