Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é dada pela função vetorial r(t).
F(x, y)=x^2 y i-x y j, r(t)=t^3 i+t^4 j, 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCFcdot dr
onde F(x,y)=(x^2y,,-xy) e a curva C é parametrizada por
r(t)=(t^3,,t^4) para 0<= t<=1.
O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial em termos de parâmetro:
integralCFcdot dr=integral0^1F(r(t))cdot r'(t),dt

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada da parametrização:
r'(t)=l(3t^2,;4t^3r)

Passo 3

Em seguida, avaliamos F ao longo da curva:
F(r(t)) =l((t^3)^2cdot t^4,;-,t^3cdot t^4r) =(t^6+4,,-t^3+4) =(t^10,,-t^7)

Passo 4

Agora formamos o produto escalar
F(r(t))cdot r'(t) = (t^10,,-t^7)cdot(3t^2,,4t^3) =3t^12-4t^10

Passo 5

Basta então integrar de 0 a 1:
integral0^1(3t^12-4t^10),dt =[313t^13-411t^11]0^1 =313-411 =33-52143 =-19143

Resposta

-19143

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