Calcule a integral de linha integralC F d s, onde F é o campo F(x, y, z)=(2 x y z+2 x z, x^2 z+2 y, x^2 y+x^2+sin (z)) e C é a curva: c(t)=(e^sin (t pi2), e^cos (t pi2), t cos (t pi2) sin (t pi2)) 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC Fcdot dr, onde o campo vetorial é F(x,y,z)=(2xyz+2xz,,x^2z+2y,,x^2y+x^2+sin(z)) e a curva C é parametrizada por c(t)=(e^sin(tfracpi t2),,e^cos(tfracpi t2),,tcos(tfracpi t2)sin(tfracpi t2)), 0<= t<=1. Vamos usar o conteúdo de campos conservativos e função potencial para simplificar a integral, pois isso evita calcular diretamente F(c(t))cdot c'(t).

Passo 2

Para ver se F é conservativo, buscamos uma função potencial phi(x,y,z) tal que nablaphi=F. Começamos integrando a componente partialphi/partial x=2xyz+2xz=2xz(y+1) em relação a x:
phi(x,y,z)=integral2xz(y+1),dx = x^2z(y+1)+g(y,z) = x^2zy+x^2z+g(y,z)

Passo 3

Agora usamos a condição partialphi/partial y =x^2z+partial g/partial y que deve ser igual à segunda componente de F, isto é, x^2z+2y. Assim:
x^2z+partial gpartial y=x^2z+2y Longrightarrow gy=2y Rightarrow g(y,z)=y^2+h(z)
Em seguida, exigimos partialphi/partial z = x^2y+x^2+h'(z) igual à terceira componente de F, que é x^2y+x^2+sin(z). Então
x^2y+x^2+h'(z)=x^2y+x^2+sin(z) Longrightarrow h'(z)=sin(z) Rightarrow h(z)=-cos(z)
Logo, podemos tomar como potencial
phi(x,y,z)=x^2zy+x^2z+y^2-cos(z)

Passo 4

Pelo teorema fundamental para integrais de linha em campos conservativos, temos
integralC Fcdot dr=phi(c(1))-phi(c(0))
Calculamos primeiro os pontos finais da curva:
Para t=0:
c(0)=(e^0,e^1,0cdot1cdot0)=(1,e,0)
Para t=1:
c(1)=(e^1,e^0,1cdot0cdot1)=(e,1,0)

Passo 5

Agora avaliamos phi nesses pontos. Como z=0 em ambos, phi(x,y,0)=y^2-cos(0)=y^2-1. Assim:
phi(c(1))=1^2-1=0, phi(c(0))=e^2-1
Portanto a integral é
0-(e^2-1)=1-e^2

Resposta

1 - e^2

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