Calcule a integral de linha
, onde
é o campo
e
é a curva:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial é
e a curva
é parametrizada por
,
. Vamos usar o conteúdo de campos conservativos e função potencial para simplificar a integral, pois isso evita calcular diretamente
.
Passo 2
Para ver se
é conservativo, buscamos uma função potencial
tal que
. Começamos integrando a componente
em relação a
:
Passo 3
Agora usamos a condição
que deve ser igual à segunda componente de
, isto é,
. Assim:
Em seguida, exigimos
igual à terceira componente de
, que é
. Então
Logo, podemos tomar como potencial
Passo 4
Pelo teorema fundamental para integrais de linha em campos conservativos, temos
Calculamos primeiro os pontos finais da curva:
Para :
Para
Para
:
Passo 5
Agora avaliamos
nesses pontos. Como
em ambos,
. Assim:
Portanto a integral é
Resposta
1 - e^2