4)(2 pontos) Calcule a integral usando substituição trigonométrica:
integral x^23 raizx^2+4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^23 raizx^2+4 , dx usando substituição trigonométrica. Aqui, estamos lidando com cálculo integral e especificamente com técnicas de substituição trigonométrica, que são úteis para integrar funções que têm expressões quadráticas dentro de raízes. Para isso, vamos precisar identificar uma substituição adequada e aplicar algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral. Podemos tirar o fator 13 de fora da integral:
integral x^23 raizx^2+4 , dx = 13 integral x^2raizx^2+4 , dx

Passo 3

Agora, observamos que dentro da raiz temos x^2 + 4, que se parece com a expressão padrão raiza^2 + x^2. Para esse caso, uma substituição trigonométrica útil é x = 2 tantheta, já que a = 2 aqui.

Passo 4

Fazendo a substituição x = 2 tantheta, derivamos dx:
dx = 2 sec^2theta , dtheta
Substituindo na raiz:
raizx^2 + 4 = raiz4 tan^2theta + 4 = raiz4 (tan^2theta + 1) = raiz4 sec^2theta = 2 sectheta

Passo 5

Substituindo tudo na integral:
13 integral (2 tantheta)^22 sectheta cdot 2 sec^2theta , dtheta = 13 integral 4 tan^2theta2 sectheta cdot 2 sec^2theta , dtheta
Simplificando os coeficientes:
13 integral 4 tan^2theta cdot sectheta , dtheta

Passo 6

Simplificando mais:
43 integral tan^2theta cdot sectheta , dtheta
Sabemos que tan^2theta = sec^2theta - 1, então substituímos:
43 integral (sec^2theta - 1) sectheta , dtheta = 43 ( integral sec^3theta , dtheta - integral sectheta , dtheta )

Passo 7

Agora, vamos integrar cada parte:
Sabemos que:
integral sectheta , dtheta = ln |sectheta + tantheta| + C
E para integral sec^3theta , dtheta, usamos a fórmula:
integral sec^3theta , dtheta = 12 sectheta tantheta + 12 ln |sectheta + tantheta| + C

Passo 8

Substituindo as integrais encontradas:
43 ( 12 sectheta tantheta + 12 ln |sectheta + tantheta| - ln |sectheta + tantheta| ) + C
Simplificando:
43 ( 12 sectheta tantheta - 12 ln |sectheta + tantheta| ) + C

Passo 9

Agora, voltamos para a variável x. Como fizemos x = 2 tantheta, podemos expressar sectheta e tantheta em termos de x:
tantheta = x2 e sectheta = raiz1 + tan^2theta = raiz1 + x^24 = raizx^2 + 42
Substituindo na expressão:
43 ( 12 cdot raizx^2 + 42 cdot x2 - 12 ln | raizx^2 + 42 + x2 | ) + C
Simplificando os coeficientes:
43 ( x raizx^2 + 48 - 12 ln | raizx^2 + 4 + x2 | ) + C

Passo 10

Simplificando mais:
x raizx^2 + 46 - 23 ln ( raizx^2 + 4 + x ) + C

Resposta

A integral integral x^23 raizx^2+4 , dx é igual a:
x raizx^2 + 46 - 23 ln ( raizx^2 + 4 + x ) + C

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