4)(2 pontos) Calcule a integral usando substituição trigonométrica:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral usando substituição trigonométrica. Aqui, estamos lidando com cálculo integral e especificamente com técnicas de substituição trigonométrica, que são úteis para integrar funções que têm expressões quadráticas dentro de raízes. Para isso, vamos precisar identificar uma substituição adequada e aplicar algumas identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral. Podemos tirar o fator de fora da integral:
Passo 3
Agora, observamos que dentro da raiz temos , que se parece com a expressão padrão . Para esse caso, uma substituição trigonométrica útil é , já que aqui.
Passo 4
Fazendo a substituição , derivamos :
Substituindo na raiz:
Passo 5
Substituindo tudo na integral:
Simplificando os coeficientes:
Passo 6
Simplificando mais:
Sabemos que , então substituímos:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada parte:
Sabemos que:
E para , usamos a fórmula:
Passo 8
Substituindo as integrais encontradas:
Simplificando:
Passo 9
Agora, voltamos para a variável . Como fizemos , podemos expressar e em termos de :
Substituindo na expressão:
Simplificando os coeficientes:
43 ( x raizx^2 + 48 - 12 ln | raizx^2 + 4 + x2 | ) + C
Passo 10
Simplificando mais:
x raizx^2 + 46 - 23 ln ( raizx^2 + 4 + x ) + C
Resposta
A integral integral x^23 raizx^2+4 , dx é igual a: