Resolva a seguinte equação diferencial usando o método do fator integrante:
1x y^prime-1x^2+1 y=raizx^2+1x, x neq 0.

Passo 1

Temos a equação diferencial 1xy' - 1x^2+1y = raizx^2+1x,;xneq0. O conteúdo é equação linear de primeira ordem e vamos precisar colocar na forma y' + P(x)y = Q(x) e usar o fator integrante.

Passo 2

Multiplicamos toda a equação por x (permitido pois xneq0) para obter forma padrão:
y' - xx^2+1,y = raizx^2+1

Passo 3

Identificamos P(x) = -xx^2+1. O fator integrante é
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(-tfrac12ln(x^2+1)r) = (x^2+1)^-1/2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x):
(x^2+1)^-1/2y' - xx^2+1(x^2+1)^-1/2y = 1
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto mu(x)y, ou seja,
ddxl((x^2+1)^-1/2yr) = 1

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl((x^2+1)^-1/2yr)dx = integral 1,dxLongrightarrow (x^2+1)^-1/2y = x + C

Passo 6

Por fim, isolamos y:
y = (x + C),(x^2+1)^1/2 = (x + C)raizx^2+1

Resposta

y = (x + C)raizx^2+1.

Exercícios relacionados