Calcule a integral de linha integralC(x y+x+y) d s ao longo da curva y=x de (0,0) até (2,2)

Passo 1

Resumo do problema: queremos calcular a integral de linha integralC( xy + x + y ),ds de uma função escalar ao longo da curva definida por y=x de (0,0) até (2,2). O que vamos usar aqui é parametrização de curva e o cálculo do elemento de arco ds.

Passo 2

Parametrização da curva: como a reta é dada por y=x, usamos r(t)=(t,t) com t variando de 0 a 2. A derivada é r'(t)=(1,1), então o comprimento do vetor derivada é |r'(t)|=raiz1^2+1^2=raiz2. Logo
ds=|r'(t)|,dt=raiz2,dt

Passo 3

Substituição na função escalar: em cada ponto (x,y)=(t,t), temos
f(t)=x(t)y(t)+x(t)+y(t)=tcdot t+t+t=t^2+2t

Passo 4

Montagem da integral em t:
integralC( xy + x + y ),ds=integral0^2l(t^2+2tr),l(raiz2,dtr)=raiz2integral0^2(t^2+2t),dt

Passo 5

Cálculo da integral:
integral0^2(t^2+2t),dt=l[t^33+t^2r]0^2=83+4=203

Passo 6

Multiplicando pelo fator raiz2 resulta no valor final da integral de linha.

Resposta

20raiz23

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