Calcule a integral de linha ointalpha(y+x) d s, onde alpha é a fronteira do triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (1,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função escalar sobre a curva fechada alpha, dada por
ointalpha(y+x),ds,
onde alpha é a fronteira do triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (1,1).
Para resolver, vamos:
  1. Quebrar alpha em três segmentos retilíneos.
  2. Parametrizar cada segmento por um parâmetro tin[0,1].
  3. Calcular ds=raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2,dt.
  4. Integrar integral (y(t)+x(t)),ds em cada parte e somar.

Passo 2

Segmento C1 de (0,0) a (1,0):
x(t)=t, y(t)=0, tin[0,1]
Então
ds=raiz(x')^2+(y')^2,dt=raiz1+0,dt=dt,
e a integral fica
integralC1(y+x),ds =integral0^1(0+t),dt =integral0^1t,dt =tfrac12

Passo 3

Segmento C2 de (1,0) a (1,1):
x(t)=1, y(t)=t, tin[0,1]
Aqui
ds=raiz0+1,dt=dt,
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integralC2(y+x),ds =integral0^1(t+1),dt =l[tfrac12t^2+tr]0^1 =tfrac12+1 =tfrac32

Passo 4

Segmento C3 de (1,1) a (0,0):
x(t)=1-t, y(t)=1-t, tin[0,1]
Temos
ds=raiz(-1)^2+(-1)^2,dt=raiz2,dt
e
y+x= (1-t)+(1-t)=2(1-t)
Então
integralC3(y+x),ds =integral0^12(1-t),raiz2,dt =2raiz2integral0^1(1-t),dt =2raiz2cdottfrac12 =raiz2

Passo 5

Somando as três contribuições:
ointalpha(y+x),ds =tfrac12+tfrac32+raiz2 =2+raiz2

Resposta

2+raiz2

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