Capítulo 6: A Transformada de Laplace
Seção 6.1:
Encontre a transformada inversa de Laplace das seguintes funções.
a) F(s)=2s^3+3s^2-4
b) F(s)=s+1s^2+2
c) F(s)=s^2-2 s+3(s-1)^2(s+1)
d) F(s)=1s^2(s^2+1)
e) F(s)=e^-ss(s+1)
f) F(s)=1s^3-s
g) F(s)=ss^4+s^2+1
h) F(s)=s(s-1)(s^2+1)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a transformada inversa de Laplace de oito funções F(s). O conteúdo utilizado envolve:
– Propriedades básicas da transformada de Laplace inversa, como
L^-1ls^nr,L^-1l1s^nr,L^-1lss^2+a^2r,L^-1las^2+a^2r,
– Teorema do deslocamento no domínio do tempo para fatores e^-as,
– Decomposição em frações parciais para denominares polinomiais.

Passo 2

Para
F(s)=2s^3+3s^2-4
usamos L^-11/s^3=t^2/2 e
3s^2-4=34l(1s-2-1s+2r),
cuja inversa é tfrac34(e^2t-e^-2t). Logo
fa(t)=2cdott^22+34(e^2t-e^-2t) =t^2+34(e^2t-e^-2t)

Passo 3

Para
F(s)=s+1s^2+2
separamos
s+1s^2+2 =ss^2+2+1s^2+2,
cuja inversa é cos(raiz2,t) e tfrac1raiz2sin(raiz2,t). Assim
fb(t)=cosl(raiz2,tr)+1raiz2sinl(raiz2,tr)

Passo 4

Para
F(s)=s^2-2s+3(s-1)^2(s+1)
fazemos frações parciais
s^2-2s+3(s-1)^2(s+1) =3/2s+1-1/2s-1+1(s-1)^2
Invertendo cada termo, obtemos
fc(t)=32e^-t-12e^t+t,e^t

Passo 5

Para
F(s)=1s^2(s^2+1)
a decomposição em frações parciais dá
1s^2(s^2+1) =1s^2-1s^2+1
Logo
fd(t)=t-sin(t)

Passo 6

Para
F(s)=e^-ss(s+1)
usamos o teorema do deslocamento: a parte sem o fator e^-s é
1s(s+1)=1s-1s+1Longrightarrow f0(t)=1-e^-t
Então
fe(t)=u(t-1)l[,1-e^-(t-1)r]

Passo 7

Para
F(s)=1s^3-s=1s(s-1)(s+1)
a fração parcial é
1s(s-1)(s+1) =-1s+1/2s-1+1/2s+1,
cuja inversa é
ff(t)=-1+12e^t+12e^-t =cosh(t)-1

Passo 8

Para
F(s)=ss^4+s^2+1
note que s^4+s^2+1=(s^2+s+1)(s^2-s+1) e, em frações parciais, chega-se a
ss^4+s^2+1 =-1/2s^2+s+1+1/2s^2-s+1
Cada termo inviierte-se usando
(spmtfrac12)^2+(tfracraiz32)^2. O resultado é
fg(t) =1raiz3,e^t/2sin!l(tfracraiz32tr) -1raiz3,e^-t/2sin!l(tfracraiz32tr)

Passo 9

Para
F(s)=s(s-1)(s^2+1)
fazemos
s(s-1)(s^2+1) =1/2s-1-1/2,ss^2+1+1/2s^2+1,
cuja inversa é
fh(t)=12e^t-12cos(t)+12sin(t)

Resposta

a) fa(t)=t^2+tfrac34l(e^2t-e^-2tr)
b) fb(t)=cosl(raiz2,tr)+tfrac1raiz2sinl(raiz2,tr)
c) fc(t)=tfrac32e^-t-tfrac12e^t+t,e^t
d) fd(t)=t-sin(t)
e) fe(t)=u(t-1)l[,1-e^-(t-1)r]
f) ff(t)=cosh(t)-1
g) fg(t)=tfrac1raiz3,e^t/2sin!l(tfracraiz32tr)-tfrac1raiz3,e^-t/2sin!l(tfracraiz32tr)
h) fh(t)=tfrac12e^t-tfrac12cos(t)+tfrac12sin(t)

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