Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
\int_{c} x e^{3} d x, C é o arco da curva x=e^{2} de (1,0) a (e, 1).

Passo 1

Enunciado (interpretado): calcular a integral de linha
\int_{C} x e^{y}\,dx,
onde C é o arco da curva \,x=e^{y}\, que vai do ponto (1,0) até o ponto (e,1).\n
Dados relevantes:
  • A curva é dada por \,x=e^{y}\,.
  • Os pontos iniciais e finais correspondem a y=0 e y=1, respectivamente.
  • A integranda é x e^{y} multiplicando dx.
  • Queremos avaliar a integral de linha \int_{C} x e^{y}\,dx.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinho): se uma curva C é parametrizada por t\mapsto (x(t),y(t)) para t\in[a,b], então a integral de linha que envolve dx se transforma em uma integral em t pela fórmula
\int_{C} P(x,y)\,dx = \int_{a}^{b} P\big(x(t),y(t)\big)\,x'(t)\,dt.
Aqui P(x,y) é a função que multiplica dx. No nosso caso P(x,y)=x e^{y}.
O que isso significa na prática: trocamos a curva por uma parametrização e substituímos dx por x'(t)\,dt. Cada símbolo:
  • x(t) e y(t): coordenas da curva em função do parâmetro t.
  • x'(t): derivada de x(t) em relação a t.
  • a,b: valores de t que correspondem aos pontos inicial e final.

Passo 3

Escolhendo a parametrização (por que essa é natural): a curva é dada explicitamente por \,x=e^{y}\,, então é muito natural usar t=y como parâmetro. Definimos
x(t)=e^{t},\qquad y(t)=t,\qquad t\in[0,1],
porque quando t=0 obtemos (x,y)=(e^{0},0)=(1,0) e quando t=1 obtemos (x,y)=(e^{1},1)=(e,1).
Agora calculamos dx: como x(t)=e^{t}, temos
x'(t)=\frac{d}{dt}e^{t}=e^{t},
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dx = x'(t)\,dt = e^{t}\,dt.

Passo 4

Substituindo tudo na integral: usamos a fórmula do Passo 2 com P(x,y)=x e^{y} e a parametrização do Passo 3. Então
\int_{C} x e^{y}\,dx = \int_{0}^{1} \big(x(t)\,e^{y(t)}\big)\,x'(t)\,dt.
Agora substituímos x(t)=e^{t}, y(t)=t e x'(t)=e^{t}. Calculamos passo a passo:
x(t)\,e^{y(t)} = e^{t}\cdot e^{t}=e^{2t},
e multiplicando por x'(t) obtemos
\big(x(t)\,e^{y(t)}\big)\,x'(t)=e^{2t}\cdot e^{t}=e^{3t}.
Portanto a integral reduz-se a
\int_{C} x e^{y}\,dx = \int_{0}^{1} e^{3t}\,dt.

Passo 5

Calcular a integral em uma variável (regra do exponencial): a regra básica é \int e^{a t}\,dt = \dfrac{e^{a t}}{a}+C para a\neq 0. Aqui a=3, então
\int_{0}^{1} e^{3t}\,dt = \left[\frac{e^{3t}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{e^{3}-e^{0}}{3}=\frac{e^{3}-1}{3}.
Interpretação rápida: o exponencial integra-se dividindo pela constante que multiplica o parâmetro.

Passo 6

Conclusão final e leitura da resposta: a integral de linha pedida vale \dfrac{e^{3}-1}{3}. Força aí — esse tipo de integral vira uma integral comum quando parametrizamos direito; o truque é sempre escolher o parâmetro que torna a curva simples (aqui t=y).

Resposta

\displaystyle \frac{e^{3}-1}{3}

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