Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
é o arco da curva
de
a
.
Passo 1
Enunciado (interpretado): calcular a integral de linha
onde
é o arco da curva
que vai do ponto
até o ponto
.\n
Dados relevantes:
Dados relevantes:
- A curva é dada por
. - Os pontos iniciais e finais correspondem a
e , respectivamente. - A integranda é
multiplicando . - Queremos avaliar a integral de linha
.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinho): se uma curva
é parametrizada por
para
, então a integral de linha que envolve
se transforma em uma integral em
pela fórmula
Aqui
é a função que multiplica
. No nosso caso
.
O que isso significa na prática: trocamos a curva por uma parametrização e substituímos por
. Cada símbolo:
O que isso significa na prática: trocamos a curva por uma parametrização e substituímos
-
e : coordenas da curva em função do parâmetro . -
: derivada de em relação a . -
: valores de que correspondem aos pontos inicial e final.
Passo 3
Escolhendo a parametrização (por que essa é natural): a curva é dada explicitamente por
, então é muito natural usar
como parâmetro. Definimos
porque quando
obtemos
e quando
obtemos
.
Agora calculamos : como
, temos
Agora calculamos
logo
Passo 4
Substituindo tudo na integral: usamos a fórmula do Passo 2 com
e a parametrização do Passo 3. Então
Agora substituímos
,
e
. Calculamos passo a passo:
e multiplicando por
obtemos
Portanto a integral reduz-se a
Passo 5
Calcular a integral em uma variável (regra do exponencial): a regra básica é
para
. Aqui
, então
Interpretação rápida: o exponencial integra-se dividindo pela constante que multiplica o parâmetro.
Passo 6
Conclusão final e leitura da resposta: a integral de linha pedida vale
. Força aí — esse tipo de integral vira uma integral comum quando parametrizamos direito; o truque é sempre escolher o parâmetro que torna a curva simples (aqui
).