O princípio da Conservação da Vorticidade Potencial (VP) é expresso matematicamente por:
\frac{\zeta+f}{H}=c t e
Onde \zeta=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} e f=2 \Omega \sin \theta.
A conservação da VP engloba os efeitos da variação da profundidade, da latitude, e do cisalhamento das velocidades ao longo da trajetória de um fluido. Considere que uma coluna d’água, no hemisfério sul, se desloca com H aumentando. Descreva como variam \varsigma e f nos seguintes casos:
A coluna d’água se move meridionalmente para o polo norte.

Passo 1

O enunciado dá a conservação da vorticidade potencial por
\frac{\zeta+f}{H}=\text{constante}
onde \zeta=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} é a vorticidade relativa e f=2\Omega\sin\theta é a vorticidade planetária. Diz-se que a coluna d’água está no hemisfério sul e que H está aumentando. A pergunta específica: quando a coluna se desloca meridionalmente para o polo norte (ou seja, em direção ao norte, aumentando a latitude \theta no sentido de valores mais próximos de zero), como variam \zeta e f?
Informações relevantes do enunciado:
  • A relação de conservação: \dfrac{\zeta+f}{H}= constante ao longo do movimento da coluna.
  • \zeta = vorticidade relativa (variável a determinar).
  • f=2\Omega\sin\theta (depende da latitude \theta).
  • Estamos no hemisfério sul (isto é, \theta<0 inicialmente).
  • A coluna move-se para o norte (latitude \theta aumenta, tende a zero) e H aumenta ( dH>0).

Passo 2

Vamos entender o comportamento de f quando a coluna se desloca para o norte. A fórmula é
f=2\Omega\sin\theta.
Aqui \Omega é a rotação da Terra (constante positiva) e \theta é a latitude. No hemisfério sul temos \theta<0 e, portanto, \sin\theta<0, logo f<0. Se a coluna se desloca para o norte, \theta aumenta (torna-se menos negativo, aproximando-se de 0^\circ), e a função \sin\theta aumenta (por exemplo, \sin(-45^\circ)=-0{,}707 \sin(-30^\circ)=-0{,}5). Conclusão imediata:
  • Ao mover-se para o norte, f aumenta (isto é, torna-se menos negativo).

Passo 3

Agora usemos a condição de conservação da vorticidade potencial para relacionar pequenas variações. Diferenciando \dfrac{\zeta+f}{H}= constante obtemos, para variações pequenas,
d\!\left(\frac{\zeta+f}{H}\right)=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{d\zeta+df}{H}-(\zeta+f)\frac{dH}{H^2}=0.
Multiplicando por H,
d\zeta+df=(\zeta+f)\frac{dH}{H}.
Isolando d\zeta obtemos a relação que usaremos para inferir o sinal da variação de \zeta:
\boxed{\,d\zeta=(\zeta+f)\frac{dH}{H}-df\,}
Vou explicar o que cada termo significa:
  • d\zeta é a mudança na vorticidade relativa que queremos saber.
  • (\zeta+f)\dfrac{dH}{H} é a contribuição exigida pela mudança de altura H: se H aumenta ( dH>0), o numerador \zeta+f precisa aumentar proporcionalmente.
  • df é a alteração direta da vorticidade planetária por mudança de latitude.

Passo 4

Determinação do sinal de cada termo para o movimento descrito:
  • Temos dH>0 (dado: H aumenta).
  • Ao mover-se para o norte no hemisfério sul, \theta aumenta, logo df>0 (conforme explicado no Passo 2).
  • O sinal de \zeta+f depende dos valores, mas em oceanografia e atmosfera frequentemente |f| é muito maior que |\zeta|, então normalmente \zeta+f\approx f. No hemisfério sul isso significa \zeta+f<0 (negativo), porque f<0 e \zeta costuma ser pequeno comparado a f.
Usando essa aproximação típica ( \zeta+f\approx f<0), o termo (\zeta+f)\dfrac{dH}{H} tem sinal negativo (produto de número negativo por dH/H>0). Já df>0. Assim, na fórmula
d\zeta=(\zeta+f)\frac{dH}{H}-df
temos “algo negativo” menos “algo positivo”, logo d\zeta será tipicamente negativo. Em palavras: \zeta diminui.

Passo 5

Interpretação física e exemplo numérico simples para fixar a intuição (método didático):
  • Física: aumentar H (a coluna estica verticalmente) tende a exigir um aumento em \zeta+f proporcional a H. Mas como ao ir para o norte f aumenta (torna-se menos negativo), essa variação de f vai parcialmente contrariar a necessidade imposta por H. Para satisfazer a conservação, a vorticidade relativa \zeta precisa mudar de modo que a soma \zeta+f cresça na proporção de H. Na prática, com f ficando menos negativo, é necessário que \zeta se torne mais negativo (ou diminua) para alcançar o valor aumentado que a soma deve ter — por isso \zeta diminui.
  • Exemplo numérico (apenas para ver números): suponha \zeta_i=1, f_i=-10, H_i=100. Então \dfrac{\zeta_i+f_i}{H_i}=\dfrac{-9}{100}=-0{,}09. Se H aumenta 10% para H_f=110, a nova soma deve ser -0{,}09\times110=-9{,}9. Se ao mesmo tempo f aumenta para f_f=-9{,}5 (menos negativo), então \zeta_f=-9{,}9-(-9{,}5)=-0{,}4. Ou seja, \zeta caiu de 1 para -0{,}4: uma redução (tornou-se mais negativa), concordando com a conclusão acima.

Passo 6

Resumo final e linguagem simples (empática): em linguagem de prova, usando a equação diferencial obtida e a suposição física usual ( |f|\gg|\zeta|), quando uma coluna no hemisfério sul se desloca para o norte e H aumenta, a vorticidade planetária f aumenta (fica menos negativa) e a vorticidade relativa \zeta diminui (tornando-se mais negativa). Em termos de rotação, a coluna tende a adquirir vorticidade relativa com sinal negativo (no sentido sul-hemisférico correspondente).

Resposta

\zeta diminui (torna-se mais negativa).
f aumenta (torna‑se menos negativo).

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