O princípio da Conservação da Vorticidade Potencial (VP) é expresso matematicamente por:
Onde
e
.
A conservação da VP engloba os efeitos da variação da profundidade, da latitude, e do cisalhamento das velocidades ao longo da trajetória de um fluido. Considere que uma coluna d’água, no hemisfério sul, se desloca com H aumentando. Descreva como variam
e
nos seguintes casos:
A coluna d’água se move meridionalmente para o polo norte.
A conservação da VP engloba os efeitos da variação da profundidade, da latitude, e do cisalhamento das velocidades ao longo da trajetória de um fluido. Considere que uma coluna d’água, no hemisfério sul, se desloca com H aumentando. Descreva como variam
A coluna d’água se move meridionalmente para o polo norte.
Passo 1
O enunciado dá a conservação da vorticidade potencial por
onde
é a vorticidade relativa e
é a vorticidade planetária. Diz-se que a coluna d’água está no hemisfério sul e que
está aumentando. A pergunta específica: quando a coluna se desloca meridionalmente para o polo norte (ou seja, em direção ao norte, aumentando a latitude
no sentido de valores mais próximos de zero), como variam
e
?
Informações relevantes do enunciado:
- A relação de conservação:
constante ao longo do movimento da coluna. -
= vorticidade relativa (variável a determinar). -
(depende da latitude ). - Estamos no hemisfério sul (isto é,
inicialmente). - A coluna move-se para o norte (latitude
aumenta, tende a zero) e aumenta ( ).
Passo 2
Vamos entender o comportamento de
quando a coluna se desloca para o norte. A fórmula é
Aqui
é a rotação da Terra (constante positiva) e
é a latitude. No hemisfério sul temos
e, portanto,
, logo
Se a coluna se desloca para o norte,
aumenta (torna-se menos negativo, aproximando-se de
), e a função
aumenta (por exemplo,
→
). Conclusão imediata:
- Ao mover-se para o norte,
aumenta (isto é, torna-se menos negativo).
Passo 3
Agora usemos a condição de conservação da vorticidade potencial para relacionar pequenas variações. Diferenciando
constante obtemos, para variações pequenas,
Multiplicando por
,
Isolando
obtemos a relação que usaremos para inferir o sinal da variação de
:
Vou explicar o que cada termo significa:
-
é a mudança na vorticidade relativa que queremos saber. -
é a contribuição exigida pela mudança de altura : se aumenta ( ), o numerador precisa aumentar proporcionalmente. -
é a alteração direta da vorticidade planetária por mudança de latitude.
Passo 4
Determinação do sinal de cada termo para o movimento descrito:
- Temos
(dado: aumenta). - Ao mover-se para o norte no hemisfério sul,
aumenta, logo (conforme explicado no Passo 2). - O sinal de
depende dos valores, mas em oceanografia e atmosfera frequentemente é muito maior que , então normalmente . No hemisfério sul isso significa (negativo), porque e costuma ser pequeno comparado a .
Usando essa aproximação típica (
), o termo
tem sinal negativo (produto de número negativo por
). Já
. Assim, na fórmula
temos “algo negativo” menos “algo positivo”, logo
será tipicamente negativo. Em palavras:
diminui.
Passo 5
Interpretação física e exemplo numérico simples para fixar a intuição (método didático):
- Física: aumentar
(a coluna estica verticalmente) tende a exigir um aumento em proporcional a . Mas como ao ir para o norte aumenta (torna-se menos negativo), essa variação de vai parcialmente contrariar a necessidade imposta por . Para satisfazer a conservação, a vorticidade relativa precisa mudar de modo que a soma cresça na proporção de . Na prática, com ficando menos negativo, é necessário que se torne mais negativo (ou diminua) para alcançar o valor aumentado que a soma deve ter — por isso diminui. - Exemplo numérico (apenas para ver números): suponha
, , . Então . Se aumenta 10% para , a nova soma deve ser . Se ao mesmo tempo aumenta para (menos negativo), então . Ou seja, caiu de para : uma redução (tornou-se mais negativa), concordando com a conclusão acima.
Passo 6
Resumo final e linguagem simples (empática): em linguagem de prova, usando a equação diferencial obtida e a suposição física usual (
), quando uma coluna no hemisfério sul se desloca para o norte e
aumenta, a vorticidade planetária
aumenta (fica menos negativa) e a vorticidade relativa
diminui (tornando-se mais negativa). Em termos de rotação, a coluna tende a adquirir vorticidade relativa com sinal negativo (no sentido sul-hemisférico correspondente).