O princípio da Conservação da Vorticidade Potencial (VP) é expresso matematicamente por:
Onde
e
.
A conservação da VP engloba os efeitos da variação da profundidade, da latitude, e do cisalhamento das velocidades ao longo da trajetória de um fluido. Considere que uma coluna d’água, no hemisfério sul, se desloca com H aumentando. Descreva como variam
e
nos seguintes casos:
A coluna d’água se move meridionalmente para o polo sul;
A conservação da VP engloba os efeitos da variação da profundidade, da latitude, e do cisalhamento das velocidades ao longo da trajetória de um fluido. Considere que uma coluna d’água, no hemisfério sul, se desloca com H aumentando. Descreva como variam
A coluna d’água se move meridionalmente para o polo sul;
Passo 1
O enunciado dá a conservação da vorticidade potencial por
onde
é a vorticidade relativa e
é o parâmetro de Coriolis.
Condições fornecidas: estamos no hemisfério sul e a coluna d’água se desloca meridionalmente em direção ao polo sul; ao mesmo tempo a profundidade/altura da coluna aumenta.
Pergunta: descrever como variam e
nesse deslocamento.
Condições fornecidas: estamos no hemisfério sul e a coluna d’água se desloca meridionalmente em direção ao polo sul; ao mesmo tempo a profundidade/altura da coluna
Pergunta: descrever como variam
Passo 2
Entendendo
: escrevemos
com
(rotação da Terra) e
a latitude. No hemisfério sul temos
, então
e, portanto,
. Ao mover-se meridionalmente para o polo sul a latitude fica mais próxima de
, por exemplo de
para
. Como
fica numericamente mais negativo,
torna-se numericamente mais negativo. Em palavras:
diminui (o seu valor algébrico fica menor) e o seu módulo
aumenta.
Passo 3
Escrevemos a conservação de forma equivalente
onde
é a constante igual ao valor inicial de
. Desta forma fica claro que
varia na mesma razão que
: se
aumenta, então
também deve mudar proporcionalmente (multiplicar por
).
Passo 4
Analisando sinais e pequenas variações: diferenciamo ambos os lados (forma diferencial da conservação)
Como
(a coluna fica mais alta), o sinal de
é igual ao sinal de
. Em muitos casos práticos
tem sinal negativo no hemisfério sul (porque
é negativo e pode dominar), então
tende a tornar esse somatório mais negativo (aumentar em magnitude negativa). Mas isto é o comportamento do somatório
, não da
isoladamente.
Passo 5
Relação entre as variações de
e
: temos
Sabemos que ao mover-se para o polo sur:
-
(isto é, diminui, fica mais negativo); -
segue da equação anterior (pode ser negativo se ).
Portanto
Como
é positivo (pois
), essa segunda parcela tende a aumentar
. Na prática física usual, o efeito de
domina: para compensar o caráter mais negativo de
ao mover-se para o polo, a vorticidade relativa
tem de aumentar (recebe um incremento positivo) de modo que
acompanhe a variação proporcional a
.
Passo 6
Intuição física (analogia): ao crescer
a coluna é “esticada”. Por conservação da vorticidade potencial uma coluna que se estica tende a girar mais (spin-up) para manter
constante. No hemisfério sul, enquanto
fica mais negativo ao mover-se para o polo, a coluna reage com um aumento de
(um ganho de vorticidade relativa com sinal algébrico positivo) para satisfazer a conservação.
Passo 7
Resumo das variações de forma clara e direta:
-
: diminui (o valor algébrico fica mais negativo); o módulo aumenta ao mover-se para o polo sul. -
: aumenta (ou seja, a vorticidade relativa recebe um acréscimo positivo) para que varie na mesma proporção que e assim manter a conservação da vorticidade potencial.