O princípio da Conservação da Vorticidade Potencial (VP) é expresso matematicamente por:
\frac{\zeta+f}{H}=c t e
Onde \zeta=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} e f=2 \Omega \sin \theta.
A conservação da VP engloba os efeitos da variação da profundidade, da latitude, e do cisalhamento das velocidades ao longo da trajetória de um fluido. Considere que uma coluna d’água, no hemisfério sul, se desloca com H aumentando. Descreva como variam \varsigma e f nos seguintes casos:
A coluna d’água se move meridionalmente para o polo sul;

Passo 1

O enunciado dá a conservação da vorticidade potencial por
\frac{\zeta+f}{H}=\text{constante},
onde \zeta=\dfrac{\partial v}{\partial x}-\dfrac{\partial u}{\partial y} é a vorticidade relativa e f=2\Omega\sin\theta é o parâmetro de Coriolis.
Condições fornecidas: estamos no hemisfério sul e a coluna d’água se desloca meridionalmente em direção ao polo sul; ao mesmo tempo a profundidade/altura da coluna H aumenta.
Pergunta: descrever como variam \zeta e f nesse deslocamento.

Passo 2

Entendendo f: escrevemos
f=2\Omega\sin\theta,
com \Omega>0 (rotação da Terra) e \theta a latitude. No hemisfério sul temos \theta<0, então \sin\theta<0 e, portanto, f<0. Ao mover-se meridionalmente para o polo sul a latitude fica mais próxima de -90^\circ, por exemplo de \theta=-30^\circ para \theta=-60^\circ. Como \sin\theta fica numericamente mais negativo, f torna-se numericamente mais negativo. Em palavras: f diminui (o seu valor algébrico fica menor) e o seu módulo |f| aumenta.

Passo 3

Escrevemos a conservação de forma equivalente
\zeta+f = C\,H,
onde C é a constante igual ao valor inicial de (\zeta+f)/H. Desta forma fica claro que \zeta+f varia na mesma razão que H: se H aumenta, então \zeta+f também deve mudar proporcionalmente (multiplicar por H_{\text{novo}}/H_{\text{antigo}}).

Passo 4

Analisando sinais e pequenas variações: diferenciamo ambos os lados (forma diferencial da conservação)
d(\zeta+f)=\frac{\zeta+f}{H}\,dH.
Como dH>0 (a coluna fica mais alta), o sinal de d(\zeta+f) é igual ao sinal de \zeta+f. Em muitos casos práticos \zeta+f tem sinal negativo no hemisfério sul (porque f é negativo e pode dominar), então d(\zeta+f) tende a tornar esse somatório mais negativo (aumentar em magnitude negativa). Mas isto é o comportamento do somatório \zeta+f, não da \zeta isoladamente.

Passo 5

Relação entre as variações de \zeta e f: temos
d\zeta = d(\zeta+f)-df.
Sabemos que ao mover-se para o polo sur:
  • df<0 (isto é, f diminui, fica mais negativo);
  • d(\zeta+f) segue da equação anterior (pode ser negativo se \zeta+f<0).
    Portanto
d\zeta = \frac{\zeta+f}{H}\,dH - df.
Como -df é positivo (pois df<0), essa segunda parcela tende a aumentar \zeta. Na prática física usual, o efeito de -df domina: para compensar o caráter mais negativo de f ao mover-se para o polo, a vorticidade relativa \zeta tem de aumentar (recebe um incremento positivo) de modo que \zeta+f acompanhe a variação proporcional a H.

Passo 6

Intuição física (analogia): ao crescer H a coluna é “esticada”. Por conservação da vorticidade potencial uma coluna que se estica tende a girar mais (spin-up) para manter (\zeta+f)/H constante. No hemisfério sul, enquanto f fica mais negativo ao mover-se para o polo, a coluna reage com um aumento de \zeta (um ganho de vorticidade relativa com sinal algébrico positivo) para satisfazer a conservação.

Passo 7

Resumo das variações de forma clara e direta:
  • f: diminui (o valor algébrico fica mais negativo); o módulo |f| aumenta ao mover-se para o polo sul.
  • \zeta: aumenta (ou seja, a vorticidade relativa recebe um acréscimo positivo) para que \zeta+f varie na mesma proporção que H e assim manter a conservação da vorticidade potencial.

Resposta

f diminui (torna-se mais negativo; |f| aumenta).\n \zeta aumenta (a vorticidade relativa cresce, garantindo que \zeta+f acompanhe o aumento de H e mantenha (\zeta+f)/H constante).

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