Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha
onde a curva
é dada parametricamente por
Informações relevantes fornecidas:
- A integranda é
multiplicada por . - A curva
está parametrizada por no intervalo . - Os valores das componentes ao longo de
são , , .
Passo 2
Regra prática para integrar algo do tipo
quando
é parametrizada por
: substituímos
por
e trocamos
por
. Em fórmulas:
onde
varia de
a
. Aqui
. Vou usar essa fórmula aplicando a parametrização dada. Observação do que cada símbolo significa:
-
são as coordenadas da curva em função do parâmetro . -
é a taxa de variação de em relação a . -
é o diferencial do parâmetro.
Passo 3
Calculemos
e substituamos tudo em termos de
.
Substituindo
e
em
obtemos
Agora calculemos cada peça:
Logo
e
Multiplicando por
temos o integrando em
:
Passo 4
Montamos a integral de uma variável em
com os limites correspondentes
a
:
Para calcular essa integral usamos a substituição
. Detalhes da substituição:
Os limites em
são: quando
temos
; quando
temos
. Substituindo na integral:
Integrando
obtemos