Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
\int_{C} x y e^{y z} d y, C: x=t, y=t^{2}, z=t^{3}, 0 \leq t \leq \pi

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha
\int_{C} x y e^{y z}\,dy,
onde a curva C é dada parametricamente por
x(t)=t,\quad y(t)=t^{2},\quad z(t)=t^{3},\qquad 0\le t\le \pi.
Informações relevantes fornecidas:
  • A integranda é x y e^{y z} multiplicada por dy.
  • A curva C está parametrizada por t no intervalo [0,\pi].
  • Os valores das componentes ao longo de C são x(t)=t, y(t)=t^{2}, z(t)=t^{3}.

Passo 2

Regra prática para integrar algo do tipo \int_C F(x,y,z)\,dy quando C é parametrizada por x(t),y(t),z(t): substituímos x,y,z por x(t),y(t),z(t) e trocamos dy por y'(t)\,dt. Em fórmulas:
\int_C F(x,y,z)\,dy = \int_{a}^{b} F\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,y'(t)\,dt,
onde t varia de a a b. Aqui F(x,y,z)=x y e^{y z}. Vou usar essa fórmula aplicando a parametrização dada. Observação do que cada símbolo significa:
  • x(t),y(t),z(t) são as coordenadas da curva em função do parâmetro t.
  • y'(t)=\dfrac{dy}{dt} é a taxa de variação de y em relação a t.
  • dt é o diferencial do parâmetro.

Passo 3

Calculemos y'(t) e substituamos tudo em termos de t.
y(t)=t^{2}\quad\Rightarrow\quad y'(t)=\frac{d}{dt}(t^{2})=2t.
Substituindo x(t),y(t),z(t) e y'(t) em x y e^{y z}\,dy obtemos
x(t)\,y(t)\,e^{y(t)z(t)}\,y'(t)\,dt.
Agora calculemos cada peça:
x(t)=t,\qquad y(t)=t^{2},\qquad z(t)=t^{3}.
Logo
y(t)z(t)=t^{2}\cdot t^{3}=t^{5},
e
x(t)\,y(t)=t\cdot t^{2}=t^{3}.
Multiplicando por y'(t)=2t temos o integrando em t:
t^{3}\,e^{t^{5}}\cdot 2t = 2t^{4} e^{t^{5}}.

Passo 4

Montamos a integral de uma variável em t com os limites correspondentes t=0 a t=\pi:
\int_{C} x y e^{y z}\,dy = \int_{0}^{\pi} 2t^{4} e^{t^{5}}\,dt.
Para calcular essa integral usamos a substituição u=t^{5}. Detalhes da substituição:
u=t^{5}\quad\Rightarrow\quad du=5t^{4}\,dt \quad\Rightarrow\quad t^{4}\,dt=\frac{du}{5}.
Os limites em u são: quando t=0 temos u=0^{5}=0; quando t=\pi temos u=\pi^{5}. Substituindo na integral:
\int_{0}^{\pi} 2t^{4} e^{t^{5}}\,dt = 2\int_{0}^{\pi} t^{4} e^{t^{5}}\,dt = 2\int_{u=0}^{u=\pi^{5}} e^{u}\cdot\frac{du}{5} = \frac{2}{5}\int_{0}^{\pi^{5}} e^{u}\,du.
Integrando e^{u} obtemos
\frac{2}{5}\big[e^{u}\big]_{0}^{\pi^{5}} = \frac{2}{5}\big(e^{\pi^{5}}-e^{0}\big)=\frac{2}{5}\big(e^{\pi^{5}}-1\big).

Resposta

\displaystyle \frac{2}{5}\big(e^{\pi^{5}}-1\big)

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