(a) Determine os intervalos em que
é crescente ou decrescente.
(b) Determine os valores máximos e mínimos locais de
.
(c) Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
.
(b) Determine os valores máximos e mínimos locais de
(c) Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) Determinar os intervalos em que
é crescente ou decrescente. - (b) Determinar os valores máximos e mínimos locais de
. - (c) Determinar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - A função envolve
, então o domínio natural (onde está definida como função real) é . - Queremos analisar derivadas primeira e segunda para responder (a), (b) e (c).
Passo 2
Primeira lição rápida (ferramenta que vamos usar): regra do produto para derivadas.
Se e
são funções, então
Se
Também usaremos que
para
.
Agora aplicamos isso a
. Tomo
e
.
-
. -
.
Usando a regra do produto,
Simplificando a segunda parcela,
Fatorando
,
Passo 3
Agora interpretamos
para encontrar pontos críticos e os sinais (aumenta/decresce).
- Pontos críticos ocorrem quando
ou quando não está definida. Aqui está definida para todo , então só precisamos resolver .
No domínio
, a solução
não pertence ao domínio. Logo consideramos
Tomando exponencial,
Portanto o único ponto crítico no domínio é
.
Passo 4
Vamos estudar o sinal de
para determinar onde
cresce ou decresce.
- Para
o fator é sempre positivo, então o sinal de é o mesmo do fator . - Resolvo
e : -
Conclusão (resposta para (a)):
-
em , logo é decrescente em . -
em , logo é crescente em .
Passo 5
Agora encontramos máximos e mínimos locais (item (b)). Ferramenta: se
muda de negativo para positivo num ponto crítico, é mínimo local; se muda de positivo para negativo, é máximo local.
No ponto crítico
vimos que
passa de negativo (à esquerda) para positivo (à direita). Portanto é um mínimo local.
Podemos também confirmar pelo teste da segunda derivada (vamos calcular
no Passo 6) ou calcular o valor da função nesse ponto. Calculamos já o valor de
em
:
Portanto existe um mínimo local em
com valor
.
Não há nenhum outro ponto crítico, logo não há máximos locais.
Não há nenhum outro ponto crítico, logo não há máximos locais.
Passo 6
Agora tratamos concavidade (item (c)). Primeiro calculamos a segunda derivada. Já temos
. Diferenciando termo a termo (ou diferenciando
):
Derivando
: use produto novamente ou lembrar que
, logo
.
Derivando dá
.
Somando,
Derivando
Somando,
Passo 7
Analisamos
para concavidade e pontos de inflexão.
- Pontos de inflexão são pontos do domínio onde
e há troca de sinal de .
Resolvo:
Agora o sinal:
- Se
(ou ), então e é côncava para cima aí. - Se
(ou ), então e é côncava para baixo aí.
Como o sinal de
troca ao passar por
, esse ponto é um ponto de inflexão. Vamos calcular a ordenada:
Portanto o ponto de inflexão é
.
Passo 8
Bônus de confirmação (didática): podemos usar a segunda derivada no ponto crítico para confirmar natureza do extremo. Avaliando
em
:
Como
naquele ponto, confirmamos que é mínimo local (concavidade para cima no ponto).
Resposta
(a)
é decrescente em
e crescente em
.
(b) Mínimo local em
com valor
. Não há máximos locais.
(c)
é côncava para baixo em
e côncava para cima em
. Ponto de inflexão em
.