(a) Determine os intervalos em que f é crescente ou decrescente.
(b) Determine os valores máximos e mínimos locais de f.
(c) Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de f.
f(x)=x^{2} \ln x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2}\ln x e pede três coisas:
  1. (a) Determinar os intervalos em que f é crescente ou decrescente.
  2. (b) Determinar os valores máximos e mínimos locais de f.
  3. (c) Determinar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de f.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é f(x)=x^{2}\ln x.
  • A função envolve \ln x, então o domínio natural (onde f está definida como função real) é x>0.
  • Queremos analisar derivadas primeira e segunda para responder (a), (b) e (c).

Passo 2

Primeira lição rápida (ferramenta que vamos usar): regra do produto para derivadas.
Se u(x) e v(x) são funções, então
(uv)' = u'v + uv'.
Também usaremos que (\ln x)' = \dfrac{1}{x} para x>0.
Agora aplicamos isso a f(x)=x^{2}\ln x. Tomo u(x)=x^{2} e v(x)=\ln x.
  • u'(x)=2x.
  • v'(x)=\dfrac{1}{x}.
Usando a regra do produto,
f'(x)=u'v+uv' = 2x\ln x + x^{2}\cdot\frac{1}{x}.
Simplificando a segunda parcela,
f'(x)=2x\ln x + x.
Fatorando x,
f'(x)=x(2\ln x + 1).

Passo 3

Agora interpretamos f'(x) para encontrar pontos críticos e os sinais (aumenta/decresce).
  • Pontos críticos ocorrem quando f'(x)=0 ou quando f'(x) não está definida. Aqui f'(x) está definida para todo x>0, então só precisamos resolver f'(x)=0.
x(2\ln x + 1)=0.
No domínio x>0, a solução x=0 não pertence ao domínio. Logo consideramos
2\ln x + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad \ln x = -\tfrac{1}{2}.
Tomando exponencial,
x = e^{-1/2}.
Portanto o único ponto crítico no domínio é x=e^{-1/2}.

Passo 4

Vamos estudar o sinal de f'(x)=x(2\ln x+1) para determinar onde f cresce ou decresce.
  • Para x>0 o fator x é sempre positivo, então o sinal de f' é o mesmo do fator 2\ln x+1.
  • Resolvo 2\ln x+1>0 e 2\ln x+1<0:
    • 2\ln x+1>0 \iff \ln x > -\tfrac{1}{2} \iff x>e^{-1/2}.
    • 2\ln x+1<0 \iff \ln x < -\tfrac{1}{2} \iff 0<x<e^{-1/2}.
Conclusão (resposta para (a)):
  • f'(x)<0 em 0<x<e^{-1/2}, logo f é decrescente em (0,e^{-1/2}).
  • f'(x)>0 em x>e^{-1/2}, logo f é crescente em (e^{-1/2},\infty).

Passo 5

Agora encontramos máximos e mínimos locais (item (b)). Ferramenta: se f' muda de negativo para positivo num ponto crítico, é mínimo local; se muda de positivo para negativo, é máximo local.
No ponto crítico x=e^{-1/2} vimos que f' passa de negativo (à esquerda) para positivo (à direita). Portanto é um mínimo local.
Podemos também confirmar pelo teste da segunda derivada (vamos calcular f'' no Passo 6) ou calcular o valor da função nesse ponto. Calculamos já o valor de f em x=e^{-1/2}:
f\bigl(e^{-1/2}\bigr) = \bigl(e^{-1/2}\bigr)^{2} \ln\bigl(e^{-1/2}\bigr) = e^{-1}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -\tfrac{1}{2e}.
Portanto existe um mínimo local em x=e^{-1/2} com valor f=-\tfrac{1}{2e}.
Não há nenhum outro ponto crítico, logo não há máximos locais.

Passo 6

Agora tratamos concavidade (item (c)). Primeiro calculamos a segunda derivada. Já temos f'(x)=2x\ln x + x. Diferenciando termo a termo (ou diferenciando x(2\ln x+1)):
Derivando 2x\ln x: use produto novamente ou lembrar que (x\ln x)'=\ln x+1, logo (2x\ln x)'=2(\ln x +1)=2\ln x +2.
Derivando x 1.
Somando,
f''(x) = (2\ln x + 2) + 1 = 2\ln x + 3.

Passo 7

Analisamos f''(x)=2\ln x +3 para concavidade e pontos de inflexão.
  • Pontos de inflexão são pontos do domínio onde f''(x)=0 e há troca de sinal de f''.
    Resolvo f''(x)=0:
2\ln x + 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad \ln x = -\tfrac{3}{2} \quad\Rightarrow\quad x = e^{-3/2}.
Agora o sinal:
  • Se \ln x > -\tfrac{3}{2} (ou x>e^{-3/2}), então f''(x)>0 e f é côncava para cima aí.
  • Se \ln x < -\tfrac{3}{2} (ou 0<x<e^{-3/2}), então f''(x)<0 e f é côncava para baixo aí.
Como o sinal de f'' troca ao passar por x=e^{-3/2}, esse ponto é um ponto de inflexão. Vamos calcular a ordenada:
f\bigl(e^{-3/2}\bigr) = \bigl(e^{-3/2}\bigr)^{2}\ln\bigl(e^{-3/2}\bigr) = e^{-3}\cdot\left(-\tfrac{3}{2}\right) = -\tfrac{3}{2e^{3}}.
Portanto o ponto de inflexão é \bigl(e^{-3/2},\,-\tfrac{3}{2e^{3}}\bigr).

Passo 8

Bônus de confirmação (didática): podemos usar a segunda derivada no ponto crítico para confirmar natureza do extremo. Avaliando f'' em x=e^{-1/2}:
f''\bigl(e^{-1/2}\bigr) = 2\ln\bigl(e^{-1/2}\bigr) + 3 = 2\left(-\tfrac{1}{2}\right) + 3 = -1 + 3 = 2>0.
Como f''>0 naquele ponto, confirmamos que é mínimo local (concavidade para cima no ponto).

Resposta

(a) f é decrescente em (0,e^{-1/2}) e crescente em (e^{-1/2},\infty).
(b) Mínimo local em x=e^{-1/2} com valor f\bigl(e^{-1/2}\bigr)=-\dfrac{1}{2e}. Não há máximos locais.
(c) f é côncava para baixo em (0,e^{-3/2}) e côncava para cima em (e^{-3/2},\infty). Ponto de inflexão em \left(e^{-3/2},-\dfrac{3}{2e^{3}}\right).

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