Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada:
,
Passo 1
O enunciado dá a integral de linha
onde a curva
é parametrizada por
O que se pede é calcular o valor numérico dessa integral ao longo de
.
Passo 2
Para calcular uma integral de linha onde a diferencial é só
, basta escrever
e
em função do parâmetro
. Aqui já temos
. Vou calcular
em termos de
: derivando
em relação a
,
portanto
(Isto significa que ao percorrer a curva, um pequeno incremento em
produz um incremento em
igual a
.)
Passo 3
Agora substituo
,
,
e
na integral. Temos
,
,
e
. Então o integrando fica
Simplificando as potências de
e o expoente:
logo a integral em
é
Passo 4
Para integrar
uso a substituição
. Então
Substituindo na integral,
(Atenção às novas limites: quando
tem
; quando
tem
.)
Passo 5
A integral de
é
. Então