Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada:
\int_{C} x y e^{y z} d y,
C: x=t, \quad y=t^{2}, \quad z=t^{3}, \quad 0 \leqslant t \leqslant 1

Passo 1

O enunciado dá a integral de linha
\int_{C} x\,y\,e^{y z}\,dy
onde a curva C é parametrizada por
x=t,\qquad y=t^{2},\qquad z=t^{3},\qquad 0\le t\le 1.
O que se pede é calcular o valor numérico dessa integral ao longo de C.

Passo 2

Para calcular uma integral de linha onde a diferencial é só dy, basta escrever y e dy em função do parâmetro t. Aqui já temos y(t)=t^{2}. Vou calcular dy em termos de dt: derivando y(t) em relação a t,
\frac{dy}{dt}=2t,
portanto
dy = 2t\,dt.
(Isto significa que ao percorrer a curva, um pequeno incremento em t produz um incremento em y igual a 2t\,dt.)

Passo 3

Agora substituo x, y, z e dy na integral. Temos x=t, y=t^{2}, z=t^{3} e dy=2t\,dt. Então o integrando fica
x\,y\,e^{y z}\,dy = t\cdot t^{2}\cdot e^{(t^{2})(t^{3})}\cdot(2t\,dt).
Simplificando as potências de t e o expoente:
t\cdot t^{2}\cdot 2t = 2t^{4}, \qquad y z = t^{2}\cdot t^{3}=t^{5},
logo a integral em t é
\int_{0}^{1} 2t^{4} e^{t^{5}}\,dt.

Passo 4

Para integrar \int_{0}^{1} 2t^{4} e^{t^{5}}\,dt uso a substituição u=t^{5}. Então
du = 5t^{4}\,dt \quad\Rightarrow\quad t^{4}\,dt = \frac{du}{5}.
Substituindo na integral,
\int_{0}^{1} 2t^{4} e^{t^{5}}\,dt = 2\int_{t=0}^{t=1} t^{4} e^{t^{5}}\,dt = 2\int_{u=0}^{u=1} \frac{e^{u}}{5}\,du = \frac{2}{5}\int_{0}^{1} e^{u}\,du.
(Atenção às novas limites: quando t=0 tem u=0^{5}=0; quando t=1 tem u=1^{5}=1.)

Passo 5

A integral de e^{u} é e^{u}. Então
\frac{2}{5}\int_{0}^{1} e^{u}\,du = \frac{2}{5}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} = \frac{2}{5}\left(e^{1}-e^{0}\right) = \frac{2}{5}\left(e-1\right).

Resposta

\displaystyle \frac{2}{5}\bigl(e-1\bigr)

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