Questão 16. As seguintes funções são diferenciáveis?
z=x^{2} y.

Passo 1

O enunciado pergunta se a função z=x^{2}y é diferenciável. Vou interpretar isso como: considerar a função
f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\qquad f(x,y)=x^{2}y,
e verificar se f é diferenciável em pontos genéricos (x_0,y_0) (ou seja, se é diferenciável em todo \mathbb{R}^2). As informações dadas são exatamente a expressão analítica f(x,y)=x^{2}y. O que se pede é uma resposta sobre diferenciabilidade (sim/não) e, claro, a demonstração.

Passo 2

Definição (forma que vou usar): f é diferenciável em (x_0,y_0) se existe um mapa linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que, para (h,k)\to(0,0),
f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-L(h,k)=o\big(\sqrt{h^{2}+k^{2}}\big).
O mapa linear L (quando existe) costuma ser dado pelo diferencial total
L(h,k)=f_x(x_0,y_0)\,h+f_y(x_0,y_0)\,k,
onde f_x e f_y são as derivadas parciais. Uma ferramenta muito prática (teorema útil): se as derivadas parciais f_x e f_y existem em um vizinhança de (x_0,y_0) e são contínuas em (x_0,y_0), então f é diferenciável em (x_0,y_0). Vou usar essa ferramenta e, para ficar completamente seguro, também faço a verificação direta via definição.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (tratar a outra variável como constante):
Derivando em relação a x (com y fixo):
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}y\big)=2x\,y.
Derivando em relação a y (com x fixo):
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y\big)=x^{2}.
Essas expressões são polinômios em x e y.

Passo 4

Argumento via continuidade das parciais: como f_x(x,y)=2xy e f_y(x,y)=x^{2} são funções polinomiais em (x,y), elas são contínuas em todo \mathbb{R}^2. Pelo teorema citado no Passo 2, isso implica que f é diferenciável em todo \mathbb{R}^2. Logo, concluímos rapidamente que a resposta é positiva.

Passo 5

Demonstração direta (pela definição) — para fixar bem a ideia e você poder reproduzir na prova. Tome um ponto arbitrário (x_0,y_0) e variáveis pequenas h,k. Calcule
\begin{aligned} f(x_0+h,y_0+k) &=(x_0+h)^{2}(y_0+k)\\\ &=\big(x_0^{2}+2x_0 h+h^{2}\big)(y_0+k)\\\ &=x_0^{2}y_0+(2x_0 y_0)h+(x_0^{2})k+2x_0 hk+h^{2}y_0+h^{2}k. \end{aligned}
O diferencial linear previsto é
L(h,k)=f_x(x_0,y_0)h+f_y(x_0,y_0)k=(2x_0 y_0)h+(x_0^{2})k.
Então o resto é
R(h,k)=f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-L(h,k)=2x_0 hk+h^{2}y_0+h^{2}k.
Agora mostro que R(h,k)=o\big(\sqrt{h^{2}+k^{2}}\big). Defina r=\sqrt{h^{2}+k^{2}}. Temos |h|\le r e |k|\le r. Assim
\begin{aligned} |R(h,k)|&\le 2|x_0|\,|h||k|+|y_0|\,h^{2}+|h|^{2}|k|\\\ &\le 2|x_0|\,r^{2}+|y_0|\,r^{2}+r^{3}\\\ &= \big(2|x_0|+|y_0|\big)r^{2}+r^{3}. \end{aligned}
Dividindo por r,
\frac{|R(h,k)|}{r}\le \big(2|x_0|+|y_0|\big)r + r^{2}\xrightarrow{r\to 0}0.
Portanto R(h,k)=o(r), o que é exatamente a condição de diferenciabilidade em (x_0,y_0). Como (x_0,y_0) era arbitrário, a função é diferenciável em todo \mathbb{R}^2.

Passo 6

Resumo do que usamos e dica para a prova: polinômios em x,y têm derivadas parciais que são polinômios (logo contínuas), então são diferenciáveis em toda parte. Se o professor pedir a forma do diferencial total, ela é
\mathrm{d}f=f_x(x,y)\,\mathrm{d}x+f_y(x,y)\,\mathrm{d}y=(2xy)\,\mathrm{d}x+(x^{2})\,\mathrm{d}y.
Você pode memorizar essa linha: se as parciais existem e são contínuas, pronto — diferenciável. Se precisar, na prova mostre o cálculo do resto como fiz no Passo 5 para ter a demonstração direta.

Resposta

Sim. A função z=x^{2}y é diferenciável em todo \mathbb{R}^2.

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