Questão 16. As seguintes funções são diferenciáveis? z=x^{2} y.
Passo 1
O enunciado pergunta se a função z=x^{2}y é diferenciável. Vou interpretar isso como: considerar a função
f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\qquad f(x,y)=x^{2}y,
e verificar se f é diferenciável em pontos genéricos (x_0,y_0) (ou seja, se é diferenciável em todo \mathbb{R}^2). As informações dadas são exatamente a expressão analítica f(x,y)=x^{2}y. O que se pede é uma resposta sobre diferenciabilidade (sim/não) e, claro, a demonstração.
Passo 2
Definição (forma que vou usar): f é diferenciável em (x_0,y_0) se existe um mapa linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que, para (h,k)\to(0,0),
O mapa linear L (quando existe) costuma ser dado pelo diferencial total
L(h,k)=f_x(x_0,y_0)\,h+f_y(x_0,y_0)\,k,
onde f_x e f_y são as derivadas parciais. Uma ferramenta muito prática (teorema útil): se as derivadas parciais f_x e f_y existem em um vizinhança de (x_0,y_0) e são contínuas em (x_0,y_0), então f é diferenciável em (x_0,y_0). Vou usar essa ferramenta e, para ficar completamente seguro, também faço a verificação direta via definição.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (tratar a outra variável como constante):
Argumento via continuidade das parciais: como f_x(x,y)=2xy e f_y(x,y)=x^{2} são funções polinomiais em (x,y), elas são contínuas em todo \mathbb{R}^2. Pelo teorema citado no Passo 2, isso implica que f é diferenciável em todo \mathbb{R}^2. Logo, concluímos rapidamente que a resposta é positiva.
Passo 5
Demonstração direta (pela definição) — para fixar bem a ideia e você poder reproduzir na prova. Tome um ponto arbitrário (x_0,y_0) e variáveis pequenas h,k. Calcule
Portanto R(h,k)=o(r), o que é exatamente a condição de diferenciabilidade em (x_0,y_0). Como (x_0,y_0) era arbitrário, a função é diferenciável em todo \mathbb{R}^2.
Passo 6
Resumo do que usamos e dica para a prova: polinômios em x,y têm derivadas parciais que são polinômios (logo contínuas), então são diferenciáveis em toda parte. Se o professor pedir a forma do diferencial total, ela é
Você pode memorizar essa linha: se as parciais existem e são contínuas, pronto — diferenciável. Se precisar, na prova mostre o cálculo do resto como fiz no Passo 5 para ter a demonstração direta.
Resposta
Sim. A função z=x^{2}y é diferenciável em todo \mathbb{R}^2.