Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada:
\int_{C} x y^{4} d s,
C é a metade direita do círculo x^{2}+y^{2}=16.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x y^{4}\,ds,
onde C é a metade direita do círculo x^{2}+y^{2}=16.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A curva C é a semicircunferência de raio 4 com centro na origem, correspondente à metade direita do círculo x^{2}+y^{2}=16. Ou seja, todos os pontos de C satisfazem x^{2}+y^{2}=16 e x\ge 0.
  • Não foi especificada orientação; para integrais escalares do tipo \int_C f\,ds a orientação não altera o valor da integral.
  • A função a integrar ao longo da curva é f(x,y)=x y^{4}.

Passo 2

Vamos parametrizar a semicircunferência direita. Uma parametrização natural do círculo de raio 4 é
x(t)=4\cos t,\qquad y(t)=4\sin t.
Para a metade direita ( x\ge0) tomamos o intervalo de parâmetro
t\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right],
pois nesses ângulos \cos t\ge0.
Agora explico a fórmula da integral de linha para função escalar: se uma curva é parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) para t\in[a,b], então
\int_C f(x,y)\,ds=\int_{a}^{b} f(x(t),y(t))\left|\mathbf{r}'(t)\right|\,dt.
Aqui \mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t)) e \left|\mathbf{r}'(t)\right|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} é a velocidade, que transforma dt em elemento de arco ds.
Calculemos x'(t) e y'(t):
x'(t)=-4\sin t,\qquad y'(t)=4\cos t.
Logo a velocidade é
\left|\mathbf{r}'(t)\right|=\sqrt{(-4\sin t)^{2}+(4\cos t)^{2}}=\sqrt{16\sin^{2}t+16\cos^{2}t}=\sqrt{16}=4.
Portanto ds=4\,dt.

Passo 3

Substituímos tudo na integral. A função f(x,y)=x y^{4} sob a parametrização vira
f(x(t),y(t))=(4\cos t)\bigl(4\sin t\bigr)^{4}.
Multiplicando por |\mathbf{r}'(t)|=4 obtemos o integrando em t:
(4\cos t)\bigl(4\sin t\bigr)^{4}\cdot 4.
Calculemos as potências constantes com cuidado:
\bigl(4\sin t\bigr)^{4}=4^{4}\sin^{4}t=256\sin^{4}t.
Multiplicando os fatores constantes:
4\cdot 256\cdot 4=4096.
Portanto a integral em t é
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}4096\cos t\,\sin^{4}t\,dt.

Passo 4

Para calcular
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}4096\cos t\,\sin^{4}t\,dt
fazemos a substituição padrão u=\sin t. Explicando a substituição: como du=\cos t\,dt, temos \cos t\,dt=du. Quando t=-\tfrac{\pi}{2} temos u=\sin(-\tfrac{\pi}{2})=-1. Quando t=\tfrac{\pi}{2} temos u=\sin(\tfrac{\pi}{2})=1.
Assim a integral transforma-se em
4096\int_{u=-1}^{1} u^{4}\,du.
Agora integramos u^{4}. A primitiva é \dfrac{u^{5}}{5}. Portanto
4096\left[\dfrac{u^{5}}{5}\right]_{-1}^{1}=4096\left(\dfrac{1^{5}}{5}-\dfrac{(-1)^{5}}{5}\right)=4096\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{-1}{5}\right)=4096\cdot\dfrac{2}{5}.

Passo 5

Multiplicando os números:
4096\cdot\dfrac{2}{5}=\dfrac{8192}{5}.

Resposta

\dfrac{8192}{5}

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