Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada: \int_{C} x y^{4} d s, C é a metade direita do círculo x^{2}+y^{2}=16.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x y^{4}\,ds,
onde C é a metade direita do círculo x^{2}+y^{2}=16.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A curva C é a semicircunferência de raio 4 com centro na origem, correspondente à metade direita do círculo x^{2}+y^{2}=16. Ou seja, todos os pontos de C satisfazem x^{2}+y^{2}=16 e x\ge 0.
Não foi especificada orientação; para integrais escalares do tipo \int_C f\,ds a orientação não altera o valor da integral.
A função a integrar ao longo da curva é f(x,y)=x y^{4}.
Passo 2
Vamos parametrizar a semicircunferência direita. Uma parametrização natural do círculo de raio 4 é
x(t)=4\cos t,\qquad y(t)=4\sin t.
Para a metade direita (x\ge0) tomamos o intervalo de parâmetro
t\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right],
pois nesses ângulos \cos t\ge0.
Agora explico a fórmula da integral de linha para função escalar: se uma curva é parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) para t\in[a,b], então
Aqui \mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t)) e \left|\mathbf{r}'(t)\right|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} é a velocidade, que transforma dt em elemento de arco ds.
fazemos a substituição padrão u=\sin t. Explicando a substituição: como du=\cos t\,dt, temos \cos t\,dt=du. Quando t=-\tfrac{\pi}{2} temos u=\sin(-\tfrac{\pi}{2})=-1. Quando t=\tfrac{\pi}{2} temos u=\sin(\tfrac{\pi}{2})=1.
Assim a integral transforma-se em
4096\int_{u=-1}^{1} u^{4}\,du.
Agora integramos u^{4}. A primitiva é \dfrac{u^{5}}{5}. Portanto