Calcule a integral de linha, onde C é a curva indicada ou dada pela função r. \int_{C} \frac{y}{x} d s, r(t)=\left(t^{4}, t^{3}\right) e t \in[0,1].
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{C}\frac{y}{x}\,ds,
onde a curva C é dada pela parametrização
r(t)=\big(t^{4},\,t^{3}\big),\qquad t\in[0,1].
Informações dadas importantes:
As coordenadas ao longo da curva são x(t)=t^{4} e y(t)=t^{3}.
O parâmetro varia de t=0 até t=1.
A integral é do tipo “escalar ao longo de comprimento de arco” (usa ds), não é integral de linha de campo vetorial.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicação didática):
Para uma função escalar f(x,y) e uma curva parametrizada por r(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], a integral de linha em relação ao comprimento de arco é
\big|r'(t)\big| é a velocidade escalar: \big|r'(t)\big|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}}.
Essa fórmula transforma a integral geométrica numa integral usual em t.
Passo 3
Calcular as derivadas das componentes da parametrização:
À primeira vista parece haver uma singularidade em t=0 porque \dfrac{1}{t} diverge. Mas na integral aparece o produto f\big(x(t),y(t)\big)\,\big|r'(t)\big|. Vamos multiplicar:
Fazer a substituição apropriada (aulas rápidas sobre substituição):
Escolhe-se u=16t^{2}+9. Então \,du=32t\,dt, ou seja t\,dt=\dfrac{du}{32}.
Quando t=0 temos u=9. Quando t=1 temos u=25.
Substituindo na integral: