Calcule a integral de linha, onde C é a curva indicada ou dada pela função r.
\int_{C} \frac{y}{x} d s, r(t)=\left(t^{4}, t^{3}\right) e t \in[0,1].

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{C}\frac{y}{x}\,ds,
onde a curva C é dada pela parametrização
r(t)=\big(t^{4},\,t^{3}\big),\qquad t\in[0,1].
Informações dadas importantes:
  • As coordenadas ao longo da curva são x(t)=t^{4} e y(t)=t^{3}.
  • O parâmetro varia de t=0 até t=1.
  • A integral é do tipo “escalar ao longo de comprimento de arco” (usa ds), não é integral de linha de campo vetorial.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação didática):
Para uma função escalar f(x,y) e uma curva parametrizada por r(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], a integral de linha em relação ao comprimento de arco é
\int_{C} f(x,y)\,ds = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\big|r'(t)\big|\,dt.
Aqui:
  • f(x,y)=\dfrac{y}{x}.
  • \big|r'(t)\big| é a velocidade escalar: \big|r'(t)\big|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}}.
    Essa fórmula transforma a integral geométrica numa integral usual em t.

Passo 3

Calcular as derivadas das componentes da parametrização:
x(t)=t^{4}\quad\Rightarrow\quad x'(t)=4t^{3},
y(t)=t^{3}\quad\Rightarrow\quad y'(t)=3t^{2}.
Agora a norma de r'(t):
\big|r'(t)\big|=\sqrt{(4t^{3})^{2}+(3t^{2})^{2}}=\sqrt{16t^{6}+9t^{4}}.
Fatorando t^{4} dentro da raiz (útil para simplificar):
\big|r'(t)\big|=\sqrt{t^{4}\big(16t^{2}+9\big)}=t^{2}\sqrt{16t^{2}+9},
para t\ge0 (e aqui t\in[0,1], então t^{2}\ge0 e essa forma vale).

Passo 4

Substituir f(x(t),y(t)) e verificar comportamento em t=0:
f\big(x(t),y(t)\big)=\frac{y(t)}{x(t)}=\frac{t^{3}}{t^{4}}=\frac{1}{t}\quad\text{(para }t>0\text{)}.
À primeira vista parece haver uma singularidade em t=0 porque \dfrac{1}{t} diverge. Mas na integral aparece o produto f\big(x(t),y(t)\big)\,\big|r'(t)\big|. Vamos multiplicar:
\frac{y(t)}{x(t)}\big|r'(t)\big|=\frac{1}{t}\cdot t^{2}\sqrt{16t^{2}+9}=t\sqrt{16t^{2}+9}.
Esse produto é contínuo em t=0 (no limite quando t\to0 vale 0), então não há problema: a integral é própria e bem definida no intervalo [0,1].

Passo 5

Montar a integral em t usando a fórmula do Passo 2:
\int_{C}\frac{y}{x}\,ds=\int_{0}^{1} t\sqrt{16t^{2}+9}\,dt.
Agora resolvemos essa integral definida.

Passo 6

Fazer a substituição apropriada (aulas rápidas sobre substituição):
Escolhe-se u=16t^{2}+9. Então \,du=32t\,dt, ou seja t\,dt=\dfrac{du}{32}.
Quando t=0 temos u=9. Quando t=1 temos u=25.
Substituindo na integral:
\int_{0}^{1} t\sqrt{16t^{2}+9}\,dt = \int_{u=9}^{25} \sqrt{u}\cdot\frac{du}{32} = \frac{1}{32}\int_{9}^{25} u^{1/2}\,du.
Lembrete: \int u^{1/2}\,du = \dfrac{2}{3}u^{3/2}.

Passo 7

Calcular a primitiva e avaliar nos limites:
\frac{1}{32}\int_{9}^{25} u^{1/2}\,du = \frac{1}{32}\cdot\frac{2}{3}\big[u^{3/2}\big]_{9}^{25} = \frac{1}{48}\big(25^{3/2}-9^{3/2}\big).
Avaliar 25^{3/2} e 9^{3/2}:
25^{3/2}=(\sqrt{25})^{3}=5^{3}=125,\qquad 9^{3/2}=(\sqrt{9})^{3}=3^{3}=27.
Portanto
\frac{1}{48}(125-27)=\frac{98}{48}=\frac{49}{24}.

Resposta

\dfrac{49}{24}

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