Desenhe seis vetores (escolha os pontos) dos campos de vetores abaixo:
F(x, y)=(-x, 2 y).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \,F(x,y)=(-x,2y)\, e pede que sejam desenhados seis vetores escolhendo os pontos onde serão calculados. Informação relevante que temos:
  • A expressão do campo em qualquer ponto (x,y) é \,F(x,y)=(-x,2y).
  • Precisa-se escolher seis pontos no plano e desenhar em cada um a seta correspondente a esse vetor.
  • Não há figura fornecida; então é preciso escolher pontos convenientes (inteiros simples) para facilitar o desenho e os cálculos.

Passo 2

O que significa desenhar um vetor de um campo vetorial em um ponto?
  • Para cada ponto escolhido (x_0,y_0) calcula-se o vetor \,F(x_0,y_0)=\big(-x_0,\,2y_0\big).
  • Esse vetor deve ser desenhado com a cauda (tail) em (x_0,y_0) e a ponta (head) em (x_0,y_0)+F(x_0,y_0).
  • A coordenada do ponto final (head) é, portanto,
(x_{\text{head}},y_{\text{head}}) = \big(x_0 + (-x_0),\; y_0 + 2y_0\big) = \big(0,\;3y_0\big).
  • Observação muito útil (que facilita muito o desenho): o eixo x do ponto final é sempre 0. Ou seja, a cabeça de toda seta sempre fica na reta x=0 (eixo y). Isso surge diretamente das contas acima.

Passo 3

Escolha dos seis pontos (escolhi pontos inteiros simples, simétricos, que mostram bem o comportamento do campo):
  • (0,0)
  • (1,0)
  • (-1,0)
  • (0,1)
  • (1,1)
  • (-1,-1)

Passo 4

Agora calculamos o vetor \,F(x,y)=(-x,2y)\, em cada ponto escolhido, mostrando passo a passo.
Para (0,0):
F(0,0)=\big(-0,\,2\cdot 0\big)=(0,0).
Ponto final: (0,0)+(0,0)=(0,0). É o vetor nulo (sem seta).
Para (1,0):
F(1,0)=\big(-1,\,2\cdot 0\big)=(-1,0).
Ponto final: (1,0)+(-1,0)=(0,0).
Para (-1,0):
F(-1,0)=\big(-(-1),\,2\cdot 0\big)=(1,0).
Ponto final: (-1,0)+(1,0)=(0,0).
Para (0,1):
F(0,1)=\big(-0,\,2\cdot 1\big)=(0,2).
Ponto final: (0,1)+(0,2)=(0,3).
Para (1,1):
F(1,1)=\big(-1,\,2\cdot 1\big)=(-1,2).
Ponto final: (1,1)+(-1,2)=(0,3).
Para (-1,-1):
F(-1,-1)=\big(-(-1),\,2\cdot(-1)\big)=(1,-2).
Ponto final: (-1,-1)+(1,-2)=(0,-3).

Passo 5

Interpretação geométrica e dicas práticas para desenhar:
  • Observação importante: para qualquer (x,y) o head fica em (0,3y). Isso implica:
    • As setas de pontos com mesma y terminam no mesmo ponto sobre o eixo y.
    • A componente horizontal do vetor anula a abscissa do ponto (leva x até 0), por isso as setas apontam horizontalmente em direção ao eixo y (esquerda se x>0, direita se x<0).
    • A componente vertical multiplica y por 3 ao chegar no head.
  • Como desenhar à mão:
    • Faça um plano cartesiano com uma grade inteira.
    • Marque cada ponto-cauda (x_0,y_0).
    • A partir dali desenhe uma seta até o ponto-head calculado (0,3y_0).
    • Mantenha uma escala: aqui os vetores têm componentes inteiras pequenas, então escala 1 unidade do vetor = 1 quadradinho da grade funciona bem.
  • Exemplos visuais a esperar:
    • (1,0) e (-1,0) têm setas horizontais que chegam em (0,0).
    • (0,1) e (1,1) têm heads em (0,3); a seta de (0,1) é puramente vertical para cima, a de (1,1) é inclinada (esquerda e para cima) terminando no mesmo ponto (0,3).
    • (-1,-1) aponta para a direita e para baixo, terminando em (0,-3).
  • Caso precise ajustar o desenho por questões de escala (por exemplo se usar uma folha pequena), pode usar uma escala de fator 1/2 ou similar, desenhando vetores proporcionalmente menores.

Passo 6

Resumo do que será desenhado (prepare o plano e trace as seguintes setas):
  • No ponto (0,0): vetor nulo (nenhuma seta).
  • No ponto (1,0): seta de (1,0) até (0,0).
  • No ponto (-1,0): seta de (-1,0) até (0,0).
  • No ponto (0,1): seta de (0,1) até (0,3).
  • No ponto (1,1): seta de (1,1) até (0,3).
  • No ponto (-1,-1): seta de (-1,-1) até (0,-3).

Resposta

(0,0)\mapsto F(0,0)=(0,0)
(1,0)\mapsto F(1,0)=(-1,0) (head em (0,0))
(-1,0)\mapsto F(-1,0)=(1,0) (head em (0,0))
(0,1)\mapsto F(0,1)=(0,2) (head em (0,3))
(1,1)\mapsto F(1,1)=(-1,2) (head em (0,3))
(-1,-1)\mapsto F(-1,-1)=(1,-2) (head em (0,-3))

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