Calcule a integral:
sendo
a curva de equação
, orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Resumindo o enunciado: precisamos calcular a integral
sendo
o círculo
orientado anti-horário. O conteúdo principal aqui é a fórmula integral de Cauchy para integrais de funções analíticas. Para resolver, vamos identificar as singularidades dentro de
e aplicar essa fórmula.
Passo 2
Analisando a integrando
dividida por
, vemos que existe um único polo simples em
. Como
, esse polo está dentro de
. Fora desse ponto,
é analítica em todo o plano complexo.
Passo 3
Pela fórmula integral de Cauchy, se
é analítica em e dentro de uma curva simples
salvo em um ponto
interior, então
Aqui,
e
, logo
Passo 4
Basta agora usar que
. Então
Resposta
-2\pi i