Calcule a integral:
ointC cos z(z-pi) d z
sendo C a curva de equação |z|=4, orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular a integral
ointC cos z(z-pi),dz
sendo C o círculo |z|=4 orientado anti-horário. O conteúdo principal aqui é a fórmula integral de Cauchy para integrais de funções analíticas. Para resolver, vamos identificar as singularidades dentro de C e aplicar essa fórmula.

Passo 2

Analisando a integrando f(z)=cos z dividida por (z-pi), vemos que existe um único polo simples em z=pi. Como |pi|approx3,14<4, esse polo está dentro de C. Fora desse ponto, cos z é analítica em todo o plano complexo.

Passo 3

Pela fórmula integral de Cauchy, se f é analítica em e dentro de uma curva simples C salvo em um ponto a interior, então
ointC f(z)z-a,dz = 2pi i,f(a)
Aqui, a=pi e f(z)=cos z, logo
ointC cos z(z-pi),dz = 2pi i,cos(pi)

Passo 4

Basta agora usar que cos(pi)=-1. Então
2pi i,cos(pi) = 2pi i,(-1) = -2pi i

Resposta

-2\pi i

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