Um sistema de massa mola é modelado pela seguinte equação diferencial.
m d^2 xd t^2+k x=0
Onde m=2 kg e k=8 N / m se a massa é deslocada 0,5 m da posição de equitibrio e solta com velocidade inicial igual a zero, determine a equação do movimento x(t).

Passo 1

O enunciado: temos um sistema massa-mola sem amortecimento descrito pela equação diferencial m d^2 xd t^2 + k x = 0, com massa m = 2kg e constante elástica k = 8N/m. Precisamos encontrar a solução x(t) sujeita às condições iniciais x(0) = 0.5m e x'(0) = 0.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada a m d^2 xd t^2 + k x = 0, que é m r^2 + k = 0. Substituindo m = 2 e k = 8 temos 2 r^2 + 8 = 0, de onde r = pm 2i. Isso indica frequência angular omega = 2 rad/s e solução geral x(t) = A cos(2t) + B sin(2t).

Passo 3

Usamos as condições iniciais para determinar A e B. Pela condição x(0) = A = 0.5. Derivando x'(t) = -2A sin(2t) + 2B cos(2t) e usando x'(0) = 2B = 0 obtemos B = 0.

Passo 4

Substituindo A = 0.5 e B = 0 na solução geral, concluímos que a solução particular é x(t) = 0.5 cos(2t).

Resposta

A equação do movimento é x(t) = 0.5 cos(2t).

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