Calcule a integral.
∫₀^(π/4)sec²tdt

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^2 t\,dt.
O conteúdo é integração de funções trigonométricas. Vamos precisar encontrar uma primitiva de \operatorname{sec}^2 t e depois usar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Para achar a antiderivada de \operatorname{sec}^2 t, lembramos que
\frac{d}{dt}\bigl(\tan t\bigr)=\operatorname{sec}^2 t.
Portanto,
\int \operatorname{sec}^2 t\,dt = \tan t + C.

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos a primitiva \tan t nos limites de 0 a \pi/4:
\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^2 t\,dt = \bigl[\tan t\bigr]_{0}^{\pi/4} = \tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) - \tan(0) = 1 - 0 = 1.

Resposta

1

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