Calcule a integral.
∫₁²(1+2y)²dy

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2}(1+2y)^{2}\,dy.
O conteúdo principal é integração de uma função composta, e podemos usar a técnica de substituição para simplificar.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + 2y,
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du = 2\,dy \quad\Longrightarrow\quad dy = \frac{du}{2}.
Quando y=1, u=1+2\cdot1=3.
Quando y=2, u=1+2\cdot2=5.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int_{y=1}^{y=2}(1+2y)^{2}\,dy = \int_{u=3}^{u=5}u^{2}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{3}^{5}u^{2}\,du.
Agora integramos u^{2}:
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3},
portanto
\frac{1}{2}\int_{3}^{5}u^{2}\,du = \frac{1}{2}\,\biggl[\frac{u^{3}}{3}\biggr]_{3}^{5} = \frac{1}{6}\bigl[u^{3}\bigr]_{3}^{5}.

Passo 4

Avaliaremos nos limites:
\frac{1}{6}\bigl(5^{3}-3^{3}\bigr) = \frac{1}{6}\bigl(125 - 27\bigr) = \frac{98}{6} = \frac{49}{3}.

Resposta

\frac{49}{3}.

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