Calcule a integral.
∫₀^(π/4)secθtgθdθ

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta.
O conteúdo aqui é reconhecer que a derivada de \operatorname{sec}\theta envolve \operatorname{sec}\theta\tan\theta, e depois usar a Regra Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Repare que
\frac{d}{d\theta}\bigl(\operatorname{sec}\theta\bigr)=\operatorname{sec}\theta\tan\theta.
Ou seja, o integrando \operatorname{sec}\theta\tan\theta é justamente a derivada de \operatorname{sec}\theta.

Passo 3

Portanto, uma primitiva de \operatorname{sec}\theta\tan\theta é
\int \operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta + C.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta =\bigl[\operatorname{sec}\theta\bigr]_{0}^{\pi/4} =\operatorname{sec}\Bigl(\frac{\pi}{4}\Bigr)-\operatorname{sec}(0) =\sqrt{2}-1.

Resposta

\sqrt{2}-1

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