Calcule.
integral-pi / 2^pi / 2 cos x4+sen x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral-pi/2^pi/2cos x4+sin x,dx
Estamos trabalhando com integral de funções elementares e vamos usar substituição simples (u-sub) junto com o Teorema Fundamental do Cálculo para resolver.

Passo 2

Antes de mais nada, note que para todo xin[-pi/2,pi/2] temos
4+sin xin[4-1,,4+1]=[3,5],
ou seja, o denominador nunca zera e a função é contínua nesse intervalo. Portanto, podemos aplicar a substituição sem preocupações.

Passo 3

Fazendo a troca de variável clássica, definimos
u=sin x
então
du=cos x,dx
Os limites mudam de acordo com x: quando x=-pi/2, u=sin(-pi/2)=-1; e quando x=pi/2, u=sin(pi/2)=1. Assim a integral vira
integral-1^114+u,du

Passo 4

Agora é só integrar uma fração simples. Usamos a primitiva
integral14+u,du=lnl|4+ur|+C

Passo 5

Aplicando os limites de -1 a +1, obtemos
l[ln(4+u)r]u=-1^u=1=ln(4+1)-ln(4-1)=ln5-ln3=lnl(tfrac53r)

Resposta

lntfrac53

Exercícios relacionados