Calcule.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 1 da função 5x + 5^x. O conteúdo envolvido é integração definida, usando linearidade de integrais e as fórmulas de antiderivadas de polinômio e de função exponencial de base diferente de e.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primitiva (integral indefinida) de 5x + 5^x. Usamos que ∫x dx = x^2/2 e que ∫a^x dx = a^x/ln(a). Assim,
integrall(5x + 5^xr),dx = 5integral x,dx + integral 5^x,dx = 5cdotx^22 + 5^xln 5 + C = 52x^2 + 5^xln 5 + C

Passo 3

Agora aplicamos o teorema fundamental do cálculo para avaliar de 0 a 1: seja F(x)=\frac{5}{2}x^2 + \frac{5^x}{\ln 5}. Então
integral0^1l(5x + 5^xr),dx = F(1) - F(0)

Passo 4

Calculando F(1):
F(1) = 52cdot1^2 + 5^1ln 5 = 52 + 5ln 5,
e F(0):
F(0) = 52cdot0^2 + 5^0ln 5 = 0 + 1ln 5 = 1ln 5

Passo 5

Subtraindo, temos
F(1)-F(0) = 52 + 5ln 5 - 1ln 5 = 52 + 4ln 5

Resposta

52 + 4ln 5

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