Calcule a integral.
pontos
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
Informações importantes dadas pelo enunciado:
Observação útil para o que vem a seguir: o numerador tem grau menor que o denominador (grau
vs grau
), o que normalmente permite usar decomposição em frações parciais para integrar.
Passo 2
Escolha do método: vamos usar decomposição em frações parciais porque temos uma função racional com grau do numerador menor que o do denominador e o denominador pode ser fatorado em fatores lineares distintos (se isso for possível). Agora fatoramos o denominador para ver a forma das frações parciais.
Fatorando o denominador:
Para fatorar
procuramos dois números que multiplicam
e somam
: esses números são
e
. Logo
Portanto
Passo 3
Forma da decomposição em frações parciais: como o denominador é produto de três fatores lineares distintos, existe uma representação
onde
,
e
são constantes reais que vamos determinar. Explicação rápida da ideia: queremos reescrever a fração complexa como soma de frações simples cuja integral é
(pois
).
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade algébrica
Passo 4
Encontrando
,
e
por substituição nas raízes dos fatores (método rápido e limpo):
- Tomando
:
logo
- Tomando
:
logo
- Tomando
:
logo
Podemos colocar
,
,
com denominador comum
apenas para visualização:
(cheque rápido:
, coerente com a ausência de termo em
no numerador original quando expandido).
Passo 5
Agora reescrevemos a integral como soma de integrais simples:
Substituindo os valores de
,
,
:
Lembrete da fórmula que vamos usar: para qualquer constante
e número
,
pois
.
Passo 6
Integramos termo a termo usando a fórmula acima:
Somando e acrescentando a constante de integração
,
Podemos fatorar
para uma forma mais compacta, se desejar: