Calcule a integral.
(2.5 pontos ) \int \frac{x+2}{x^{3}+3 x^{2}-10 x} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int \frac{x+2}{x^{3}+3 x^{2}-10 x}\,dx.
Informações importantes dadas pelo enunciado:
\text{numerador: } x+2,\qquad \text{denominador: } x^{3}+3x^{2}-10x.
Observação útil para o que vem a seguir: o numerador tem grau menor que o denominador (grau 1 vs grau 3), o que normalmente permite usar decomposição em frações parciais para integrar.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar decomposição em frações parciais porque temos uma função racional com grau do numerador menor que o do denominador e o denominador pode ser fatorado em fatores lineares distintos (se isso for possível). Agora fatoramos o denominador para ver a forma das frações parciais.
Fatorando o denominador:
x^{3}+3x^{2}-10x = x\,(x^{2}+3x-10).
Para fatorar x^{2}+3x-10 procuramos dois números que multiplicam -10 e somam 3: esses números são 5 e -2. Logo
x^{2}+3x-10 = (x+5)(x-2).
Portanto
x^{3}+3x^{2}-10x = x\,(x+5)\,(x-2).

Passo 3

Forma da decomposição em frações parciais: como o denominador é produto de três fatores lineares distintos, existe uma representação
\frac{x+2}{x\,(x+5)\,(x-2)} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x+5}+\frac{C}{x-2},
onde A, B e C são constantes reais que vamos determinar. Explicação rápida da ideia: queremos reescrever a fração complexa como soma de frações simples cuja integral é \ln (pois \int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C).
Multiplicando ambos os lados por x(x+5)(x-2) obtemos a identidade algébrica
x+2 = A(x+5)(x-2) + B\,x(x-2) + C\,x(x+5).

Passo 4

Encontrando A, B e C por substituição nas raízes dos fatores (método rápido e limpo):
  1. Tomando x=0:
0+2 = A(0+5)(0-2) \quad\Rightarrow\quad 2 = A\cdot(5)(-2) = -10A,
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A = -\frac{1}{5}.
  1. Tomando x=2:
2+2 = C\cdot 2 (2+5) \quad\Rightarrow\quad 4 = C\cdot 2\cdot 7 = 14C,
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C = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}.
  1. Tomando x=-5:
-5+2 = B\cdot(-5)(-5-2) \quad\Rightarrow\quad -3 = B\cdot(-5)\cdot(-7) = 35B,
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B = -\frac{3}{35}.
Podemos colocar A, B, C com denominador comum 35 apenas para visualização:
A = -\frac{7}{35},\quad B = -\frac{3}{35},\quad C = \frac{10}{35}.
(cheque rápido: A+B+C = (-7-3+10)/35 = 0, coerente com a ausência de termo em x^{2} no numerador original quando expandido).

Passo 5

Agora reescrevemos a integral como soma de integrais simples:
\int \frac{x+2}{x^{3}+3x^{2}-10x}\,dx = \int\left(\frac{A}{x}+\frac{B}{x+5}+\frac{C}{x-2}\right)\,dx.
Substituindo os valores de A, B, C:
\int\left(-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{x} - \frac{3}{35}\cdot\frac{1}{x+5} + \frac{2}{7}\cdot\frac{1}{x-2}\right)\,dx.
Lembrete da fórmula que vamos usar: para qualquer constante k e número a,
\int \frac{k}{x-a}\,dx = k\ln|x-a| + C,
pois \frac{d}{dx}\ln|x-a|=\frac{1}{x-a}.

Passo 6

Integramos termo a termo usando a fórmula acima:
\int -\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{x}\,dx = -\frac{1}{5}\ln|x|,
\int -\frac{3}{35}\cdot\frac{1}{x+5}\,dx = -\frac{3}{35}\ln|x+5|,
\int \frac{2}{7}\cdot\frac{1}{x-2}\,dx = \frac{2}{7}\ln|x-2|.
Somando e acrescentando a constante de integração C,
\int \frac{x+2}{x^{3}+3x^{2}-10x}\,dx = -\frac{1}{5}\ln|x| - \frac{3}{35}\ln|x+5| + \frac{2}{7}\ln|x-2| + C.
Podemos fatorar 1/35 para uma forma mais compacta, se desejar:
= \frac{1}{35}\Big(-7\ln|x| -3\ln|x+5| +10\ln|x-2|\Big) + C.

Resposta

-\frac{1}{5}\ln|x| - \frac{3}{35}\ln|x+5| + \frac{2}{7}\ln|x-2| + C

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