Sejam as funções f e g definidas por
e
. Considerando a função h , tal que
, determine
.
Passo 1
O enunciado dá as funções
e
. Define a função
por composição:
. A pergunta é: determine
, ou seja, a função inversa de
.
Informações relevantes:
Queremos encontrar .
Informações relevantes:
Queremos encontrar
Passo 2
Entender composição:
significa pegar a saída de
e usar como entrada de
. Para compor explicitamente, escrevemos
aplicando-se a
. Usando uma variável intermediária
, temos
e
. Portanto,
Substituindo
obtemos
Passo 3
Calculemos
passo a passo:
Portanto a função composta é
.
Passo 4
Conceito de inversa e método para encontrá-la: a inversa de uma função
é a função que desfaz
. Se
, então a inversa satisfaz
. O procedimento prático é: colocar
, resolver essa equação para
em termos de
, e depois trocar
por
para escrever a inversa como função da variável
.
Passo 5
Aplicando o método a
: comece por escrever
Isolamos
em função de
. Subtraindo
de ambos os lados:
Agora dividimos ambos os lados por
:
Trocando o nome da variável
por
(para escrever a função inversa como função de
), obtemos
Passo 6
Verificação rápida (muito útil na prova): compor
com
deve devolver a identidade. Calculando
e
As duas composições retornam
, logo a inversa está correta.