Sejam as funções f e g definidas por \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}+2 e \mathrm{g}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}-1. Considerando a função h , tal que h(x)=g(f(x)), determine h^{-1}(x).

Passo 1

O enunciado dá as funções \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}+2 e \mathrm{g}(\mathrm{x})=2\mathrm{x}-1. Define a função \mathrm{h} por composição: h(x)=g(f(x)). A pergunta é: determine h^{-1}(x), ou seja, a função inversa de h.
Informações relevantes:
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}+2
\mathrm{g}(\mathrm{x})=2\mathrm{x}-1
h(x)=g(f(x))
Queremos encontrar h^{-1}(x).

Passo 2

Entender composição: g(f(x)) significa pegar a saída de f e usar como entrada de g. Para compor explicitamente, escrevemos g aplicando-se a f(x). Usando uma variável intermediária u=f(x), temos g(u)=2u-1 e u=f(x)=x+2. Portanto,
h(x)=g(f(x))=2\cdot(f(x))-1.
Substituindo f(x)=x+2 obtemos
h(x)=2(x+2)-1.

Passo 3

Calculemos h(x) passo a passo:
h(x)=2(x+2)-1
h(x)=2x+4-1
h(x)=2x+3.
Portanto a função composta é \,h(x)=2x+3.

Passo 4

Conceito de inversa e método para encontrá-la: a inversa de uma função h é a função que desfaz h. Se \,h(x)=y, então a inversa satisfaz h^{-1}(y)=x. O procedimento prático é: colocar y=h(x), resolver essa equação para x em termos de y, e depois trocar y por x para escrever a inversa como função da variável x.

Passo 5

Aplicando o método a \,h(x)=2x+3: comece por escrever
y=2x+3.
Isolamos x em função de y. Subtraindo 3 de ambos os lados:
y-3=2x.
Agora dividimos ambos os lados por 2:
x=\frac{y-3}{2}.
Trocando o nome da variável y por x (para escrever a função inversa como função de x), obtemos
h^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}.

Passo 6

Verificação rápida (muito útil na prova): compor h com h^{-1} deve devolver a identidade. Calculando
h\big(h^{-1}(x)\big)=2\left(\frac{x-3}{2}\right)+3=(x-3)+3=x,
e
h^{-1}\big(h(x)\big)=\frac{(2x+3)-3}{2}=\frac{2x}{2}=x.
As duas composições retornam x, logo a inversa está correta.

Resposta

h^{-1}(x)=\dfrac{x-3}{2}

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