Calcule a integral e , em seguida, derive a resposta:
integral(raiz5 x^32-1x^4+2^x+sen(3 x)) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular uma integral e depois derivar a resposta. Aqui estamos trabalhando com cálculo integral e diferencial. Para resolver, vamos precisar de técnicas de integração fundamentais e das regras de derivação para funções básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a integral que precisamos calcular:
integral(raiz5 x^32 - 1x^4 + 2^x + sin(3 x)) dx
Vamos resolver essa integral termo por termo.

Passo 3

Começamos com o primeiro termo: raiz5 x^32. Podemos reescrever a raiz quadrada como uma potência:
raiz5 x^32 = (5 x^3)^1/22 = 5^1/2 x^3/22
Agora, para integrar x^3/2, usamos a regra de potência da integração, que diz que integral x^n dx = x^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração.
Então,
integral 5^1/2 x^3/22 dx = 5^1/22 cdot x^5/25/2 = 5^1/22 cdot 25 x^5/2 = raiz55 x^5/2

Passo 4

O próximo termo é -1x^4. Reescrevendo como potência negativa:
-1x^4 = -x^-4
Integrando x^-4:
integral -x^-4 dx = -x^-3-3 = x^-33 = 13 x^3

Passo 5

Agora, vamos para 2^x. A integral de a^x, onde a é uma constante, é dada por integral a^x dx = a^xln(a) + C.
Então,
integral 2^x dx = 2^xln(2)

Passo 6

Por último, temos sin(3 x). A integral de sin(k x) é -cos(k x)k + C, onde k é uma constante.
Portanto,
integral sin(3 x) dx = -cos(3 x)3

Passo 7

Juntando todos os resultados, a integral completa é:
raiz55 x^5/2 + 13 x^3 + 2^xln(2) - cos(3 x)3 + C

Passo 8

Agora, vamos derivar essa resposta para verificar se obtemos a função original dentro da integral.
Derivando termo por termo:
  1. raiz55 x^5/2:
ddx(raiz55 x^5/2) = raiz55 cdot 52 x^3/2 = raiz5 x^3/22
  1. 13 x^3:
ddx(13 x^3) = 13 cdot (-3) x^-4 = -1x^4
  1. 2^xln(2):
ddx(2^xln(2)) = 2^x ln(2)ln(2) = 2^x
  1. -cos(3 x)3:
ddx(-cos(3 x)3) = --sin(3 x) cdot 33 = sin(3 x)

Resposta

A integral calculada é:
raiz55 x^5/2 + 13 x^3 + 2^xln(2) - cos(3 x)3 + C
E ao derivar essa expressão, recuperamos a função original:
raiz5 x^32 - 1x^4 + 2^x + sin(3 x)

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