Calcule a integral e , em seguida, derive a resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular uma integral e depois derivar a resposta. Aqui estamos trabalhando com cálculo integral e diferencial. Para resolver, vamos precisar de técnicas de integração fundamentais e das regras de derivação para funções básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a integral que precisamos calcular:
Vamos resolver essa integral termo por termo.
Passo 3
Começamos com o primeiro termo:
. Podemos reescrever a raiz quadrada como uma potência:
Agora, para integrar
, usamos a regra de potência da integração, que diz que
, onde
é a constante de integração.
Então,
Passo 4
O próximo termo é
. Reescrevendo como potência negativa:
Integrando
:
Passo 5
Agora, vamos para
. A integral de
, onde
é uma constante, é dada por
.
Então,
Passo 6
Por último, temos
. A integral de
é
, onde
é uma constante.
Portanto,
Passo 7
Juntando todos os resultados, a integral completa é:
Passo 8
Agora, vamos derivar essa resposta para verificar se obtemos a função original dentro da integral.
Derivando termo por termo:
-
:
-
:
-
:
-
:
Resposta
A integral calculada é:
E ao derivar essa expressão, recuperamos a função original: