Resolva as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
O conteúdo aqui envolve duas técnicas: decomposição de fração racional para
e substituição simples para integrar
.
Passo 2
Primeiro, focamos em
Repare que podemos escrever
Logo,
Passo 3
Assim, a integral se separa em
Usamos que
e a fórmula padrão
Aqui
, então
Portanto,
Passo 4
Agora encaramos
Fazemos a substituição
, logo
e
. A integral vira
Integramos cada termo:
Assim,
Passo 5
Juntando as duas partes e lembrando o sinal negativo da segunda integral, o resultado geral é
Resposta
x - \sqrt{5},\arctan\Bigl(\tfrac{x}{\sqrt{5}}\Bigr) - \tfrac{2}{3}(x+1)^{3/2} + 2(x+1)^{1/2} + C