Resolva as integrais:
integral(x^2x^2+5-xraizx+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integrall(x^2x^2+5-xraizx+1r),dx
O conteúdo aqui envolve duas técnicas: decomposição de fração racional para x^2/(x^2+5) e substituição simples para integrar x/raizx+1.

Passo 2

Primeiro, focamos em
integral x^2x^2+5,dx
Repare que podemos escrever
x^2 = (x^2+5)-5
Logo,
x^2x^2+5 = 1 - 5x^2+5

Passo 3

Assim, a integral se separa em
integral 1,dx - 5integral 1x^2+5,dx
Usamos que
integral 1,dx = x
e a fórmula padrão
integral 1x^2+a^2,dx = 1aarctanl(xar)
Aqui a=raiz5, então
5integral 1x^2+5,dx = 5 cdot 1raiz5arctanl(xraiz5r) = raiz5,arctanl(xraiz5r)
Portanto,
integral x^2x^2+5,dx = x - raiz5,arctanl(xraiz5r)

Passo 4

Agora encaramos
integral xraizx+1,dx
Fazemos a substituição u = x+1, logo du=dx e x = u-1. A integral vira
integral u-1raizu,du = integral l(u^1/2 - u^-1/2r),du
Integramos cada termo:
integral u^1/2,du = 23u^3/2,
integral u^-1/2,du = 2u^1/2
Assim,
integral xraizx+1,dx = 23(x+1)^3/2 - 2(x+1)^1/2

Passo 5

Juntando as duas partes e lembrando o sinal negativo da segunda integral, o resultado geral é
x - raiz5,arctanl(xraiz5r) - l[23(x+1)^3/2 - 2(x+1)^1/2r] + C

Resposta

x - \sqrt{5},\arctan\Bigl(\tfrac{x}{\sqrt{5}}\Bigr) - \tfrac{2}{3}(x+1)^{3/2} + 2(x+1)^{1/2} + C

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