Verifique se a integral imprópria converge ou diverge :
integral2^infty 1(4 x+1)^3 / 2 d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria integral2^infty 1(4x+1)^3/2,dx converge ou diverge. O conteúdo envolve o teste de convergência de integrais tipo p e o cálculo de primitiva via substituição.

Passo 2

Para analisar a convergência, observamos que, para xtoinfty,
1(4x+1)^3/2sim1(4x)^3/2=14^3/2,x^-3/2 Pelo critério de integrais do tipo p, a integral integralA^inftyx^-p,dx converge se e somente se p>1. Aqui p=3/2>1, logo nossa integral converge.

Passo 3

Fazendo a substituição u = 4x + 1, obtemos:
u = 4x + 1, du = 4,dx, dx = du4 Então a integral original vira:
integral 1(4x+1)^3/2,dx=14integral u^-3/2,du=14cdotu^-1/2-1/2=-12raizu+C

Passo 4

Aplicando os limites de x=2 a xtoinfty na primitiva -tfrac12raizu, o termo em infty tende a zero e em x=2 temos -tfrac12raiz9=-tfrac16. Portanto,
integral2^infty1(4x+1)^3/2,dx=0-l(-tfrac16r)=tfrac16

Resposta

Converge e seu valor é tfrac16.

Exercícios relacionados