Determine se cada integral é convergente ou divergente.
integral1^infty 2 x^-3 d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
integral1^infty2x^-3,dx
é convergente ou divergente. Aqui o conteúdo é integral imprópria no infinito e precisamos usar a definição de integral como limite e conhecer a antiderivada de x^-3.

Passo 2

A gente reescreve a integral como um limite de integral definida até um ponto b:
integral1^infty2x^-3,dx=limbtoinftyintegral1^b2x^-3,dx
Agora encontramos a antiderivada de 2x^-3. Sabendo que integral x^ndx=tfracx^n+1n+1 para nneq -1, temos
integral2x^-3dx=2cdotx^-2-2=-x^-2 .

Passo 3

Substituímos na integral definida e aplicamos o limite:
integral1^b2x^-3,dx=[-x^-2]1^b =(-b^-2)-(-1)=1-1b^2
Quando btoinfty, o termo 1/b^2 vai a zero, sobrando o valor finito 1. Isso mostra que a integral converge.

Passo 4

Visto que o valor da integral imprópria é finito (igual a 1), concluímos que a integral é convergente.

Resposta

Convergente (valor da integral = 1)

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