Calcule a integral de superfície de um campo de forças K=(x+y) a x-y a y+z a z sobre uma região quadrada de lado 2, centrada no eixo z e paralela ao plano x y em z=3. ( 2,0 pt )

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo de forças
K=(x+y),ax-y,ay+z,az
através de uma superfície plana S que é um quadrado de lado 2, centrado em z=3 e paralelo ao plano xy.
Conteúdo: integral de superfície de fluxo, calculada por
integral duplaSKcdotn,dS.

Passo 2

Como a superfície S está em z=3 e é plana paralela a xy, o vetor normal unitário constante pode ser escolhido como
n=az
(se orientado no sentido positivo de z).

Passo 3

O fluxo é
integral duplaSKcdotn,dS =integral duplaSl((x+y),ax - y,ay + z,azr)cdot az,dS =integral duplaSz,dS
Na superfície vale z=3, logo o integrando é constante igual a 3.

Passo 4

A área do quadrado de lado 2 é
Área(S)=2^2=4 Á
Portanto
integral duplaSz,dS =3cdot Área(S) =3cdot4 =12 Á

Resposta

O valor da integral de superfície é 12.

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