Encontre a solução geral das equações:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O método consiste em encontrar primeiro a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular da não homogênea (usando coeficientes indeterminados, já que o termo de força é um polinômio em
).
Passo 2
A equação homogênea é
Escrevemos a equação característica
e resolvemos:
Logo, a solução geral da parte homogênea é
Passo 3
Para achar uma solução particular
da equação completa
como o lado direito é um polinômio de grau 2, tentamos
Passo 4
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
temos
Isso deve ser igual a
. Igualando coeficientes de potências de
:
Para :
Para
Para
:
Constante:
Assim
Passo 5
A solução geral da equação não homogênea é a soma de
com
:
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.