Encontre a solução geral das equações:
y^prime prime-y^prime-2 y=-2 t+4 t^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y' - 2y = -2t + 4t^2
O método consiste em encontrar primeiro a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular da não homogênea (usando coeficientes indeterminados, já que o termo de força é um polinômio em t).

Passo 2

A equação homogênea é
y'' - y' - 2y = 0
Escrevemos a equação característica
r^2 - r - 2 = 0
e resolvemos:
r^2 - r - 2 = (r-2)(r+1)=0 Longrightarrow r=2,;-1
Logo, a solução geral da parte homogênea é
yh(t) = C1 e^2t + C2 e^-t

Passo 3

Para achar uma solução particular yp da equação completa
y'' - y' - 2y = -2t + 4t^2
como o lado direito é um polinômio de grau 2, tentamos
yp(t) = A t^2 + B t + C

Passo 4

Calculamos as derivadas:
yp' = 2A t + B, yp'' = 2A
Substituindo em y'' - y' - 2y temos
2A - (2A t + B) - 2(A t^2 + B t + C) = -2A t^2 - (2A + 2B)t + (2A - B - 2C)
Isso deve ser igual a -2t + 4t^2. Igualando coeficientes de potências de t:
Para t^2:
-2A = 4 Longrightarrow A = -2
Para t:
-(2A+2B) = -2 Longrightarrow 2A + 2B = 2 Longrightarrow 2(-2) + 2B = 2 Longrightarrow B = 3
Constante:
2A - B - 2C = 0 Longrightarrow 2(-2) - 3 - 2C = 0 Longrightarrow -7 - 2C = 0 Longrightarrow C = -tfrac72
Assim
yp(t) = -2t^2 + 3t - tfrac72

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é a soma de yh com yp:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^2t + C2 e^-t - 2t^2 + 3t - tfrac72

Resposta

y(t) = C1 e^2t + C2 e^-t - 2t^2 + 3t - tfrac72,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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