Um vetor é conhecido. Um outro vetor B=a a x+b a y+c a z, perpendicular a A tem módulo raiz3 e componente x unitária. Determine B. (2,0 p t )
Passo 1
O enunciado dá o vetor A = ax + 3,ay + 2,az
e pede um vetor B = a,ax + b,ay + c,az
que satisfaça três condições: é perpendicular a A, tem módulo raiz3 e sua componente em x vale 1. Vamos usar produto escalar para a perpendicularidade e a definição de módulo.
Passo 2
A condição de componente x unitária significa
a = 1
Passo 3
Para BperpA temos o produto escalar zero:
AcdotB = (1),a + (3),b + (2),c = 0
Substituindo a=1 fica
1 + 3b + 2c = 0 Longrightarrow 3b + 2c = -1
Passo 4
A condição de módulo raiz3 impõe
|B|^2 = a^2 + b^2 + c^2 = 3
Como a=1,
1 + b^2 + c^2 = 3 Longrightarrow b^2 + c^2 = 2
Passo 5
Da equação 3b + 2c = -1 isolamos
c = -1 - 3b2
e substituímos em b^2 + c^2 = 2. Isso leva à equação quadrática
13b^2 + 6b - 7 = 0,
cuja solução é
b = -1 ou b = 713
Passo 6
Para cada valor de b encontramos c:
se b=-1, então
c = -1 - 3(-1)2 = 1;
se b=tfrac713, então
c = -1 - 3cdottfrac7132 = -tfrac1713
Resposta
As soluções são
B = ax ;-;ay;+;az ou B = ax ;+;tfrac713,ay;-;tfrac1713,az