Um vetor A=a x+3 a y+2 a z é conhecido. Um outro vetor B=a a x+b a y+c a z, perpendicular a A tem módulo raiz3 e componente x unitária. Determine B. (2,0 p t )

Passo 1

O enunciado dá o vetor
A = ax + 3,ay + 2,az
e pede um vetor
B = a,ax + b,ay + c,az
que satisfaça três condições: é perpendicular a A, tem módulo raiz3 e sua componente em x vale 1. Vamos usar produto escalar para a perpendicularidade e a definição de módulo.

Passo 2

A condição de componente x unitária significa
a = 1

Passo 3

Para BperpA temos o produto escalar zero:
AcdotB = (1),a + (3),b + (2),c = 0
Substituindo a=1 fica
1 + 3b + 2c = 0 Longrightarrow 3b + 2c = -1

Passo 4

A condição de módulo raiz3 impõe
|B|^2 = a^2 + b^2 + c^2 = 3
Como a=1,
1 + b^2 + c^2 = 3 Longrightarrow b^2 + c^2 = 2

Passo 5

Da equação 3b + 2c = -1 isolamos
c = -1 - 3b2
e substituímos em b^2 + c^2 = 2. Isso leva à equação quadrática
13b^2 + 6b - 7 = 0,
cuja solução é
b = -1 ou b = 713

Passo 6

Para cada valor de b encontramos c:
se b=-1, então
c = -1 - 3(-1)2 = 1;
se b=tfrac713, então
c = -1 - 3cdottfrac7132 = -tfrac1713

Resposta

As soluções são
B = ax ;-;ay;+;az ou B = ax ;+;tfrac713,ay;-;tfrac1713,az

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