Calcule a integral de superfície \iint_{S} z^{2} d S onde S é a área total do cone \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq z \leq 2. Escolha uma opção:
a) \quad \frac{7 \sqrt{21}}{3}
b) \quad \frac{\pi a^{3}}{4}
C) \frac{14 \pi}{3}
d) 8 \pi(\sqrt{2}+2)
e) Nenhuma das Respostas ◯

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} z^{2}\,dS
onde S é a área total do cone determinado por
\sqrt{x^{2}+y^{2}}\le z \le 2.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A superfície geradora do cone é dada por z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (cone com abertura de 45^\circ em relação ao eixo z).
  • O cone vai do vértice na origem até a “base” plana no plano z=2.
  • No plano z=2 o raio da base é \;r=2 (porque z=r\Rightarrow r=2).
  • “Área total do cone” significa que devemos integrar sobre a superfície lateral mais a base circular em z=2.

Passo 2

Estratégia de solução (por que vamos fazer assim): vamos decompor S em duas partes disjuntas e calcular a integral sobre cada uma:
  1. S_L = superfície lateral do cone: z=r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, com 0\le r\le 2, 0\le\theta<2\pi.
  2. S_B = base circular plana no plano z=2, com raio 2.
Justificativa: é natural parametrizar separadamente a parte lateral (superfície inclinada) e a base (superfície plana), porque as fórmulas para o elemento de área dS são simples em cada caso. Vamos calcular
\iint_{S} z^{2}\,dS=\iint_{S_L} z^{2}\,dS+\iint_{S_B} z^{2}\,dS.

Passo 3

Cálculo da integral sobre a superfície lateral S_L.
Parametrização em coordenadas cilíndricas (parâmetros r,\theta):
\mathbf{r}(r,\theta)=\big(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r\big), \qquad 0\le r\le 2,\;0\le\theta<2\pi.
Explicação: no cone temos z=r, então escolhemos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=r.
Calculemos os vetores tangentes:
\mathbf{r}_r=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;1), \qquad \mathbf{r}_\theta=(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0).
O elemento de área em uma superfície parametrizada é \,dS=\|\mathbf{r}_r\times\mathbf{r}_\theta\|\,dr\,d\theta. Vamos calcular o produto vetorial:
\mathbf{r}_r\times\mathbf{r}_\theta = \big(-r\cos\theta,\;-r\sin\theta,\;r\big).
Agora a magnitude:
\|\mathbf{r}_r\times\mathbf{r}_\theta\| = \sqrt{(-r\cos\theta)^2+(-r\sin\theta)^2+r^2} = \sqrt{r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+r^2} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2}.
Portanto
dS = r\sqrt{2}\,dr\,d\theta.
Na superfície lateral temos z=r, então o integrando z^2 vira r^2. Assim a integral sobre S_L é
\iint_{S_L} z^{2}\,dS = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{2}\cdot (r\sqrt{2})\,dr\,d\theta.

Passo 4

Compute a integral dupla para S_L.
Primeiro a integral em r:
\int_{0}^{2} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{2}=\frac{16}{4}=4.
Agora a integral em \theta:
\iint_{S_L} z^{2}\,dS = \sqrt{2}\,\int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot 4 = \sqrt{2}\cdot 2\pi \cdot 4 = 8\pi\sqrt{2}.
Portanto a contribuição da superfície lateral é \;8\pi\sqrt{2}.

Passo 5

Cálculo da integral sobre a base plana S_B (disco em z=2 de raio 2).
Na base z=2 o integrando z^{2}=4 é constante. A área elementar da placa no plano é dS=dA e em coordenadas polares dA=r\,dr\,d\theta com 0\le r\le 2,\;0\le\theta<2\pi.
Assim
\iint_{S_B} z^{2}\,dS = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} 4\cdot r\,dr\,d\theta.

Passo 6

Compute a integral dupla para S_B.
Primeiro a integral em r:
\int_{0}^{2} r\,dr = \left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{2}=\frac{4}{2}=2.
Agora:
\iint_{S_B} z^{2}\,dS = 4\cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot 2 = 4\cdot 2\pi \cdot 2 = 16\pi.
Portanto a contribuição da base é \;16\pi.

Passo 7

Somando as duas contribuições para obter a integral total sobre S:
\iint_{S} z^{2}\,dS = \iint_{S_L} z^{2}\,dS + \iint_{S_B} z^{2}\,dS = 8\pi\sqrt{2} + 16\pi = 8\pi(\sqrt{2}+2).
Comparando com as opções fornecidas, isso corresponde à alternativa (d).

Resposta

d) \;8\pi(\sqrt{2}+2)

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