Calcule a integral de superfície \iint_{S} z^{2} d S onde S é a área total do cone \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq z \leq 2. Escolha uma opção:
a) \quad \frac{7 \sqrt{21}}{3} ◯
b) \quad \frac{\pi a^{3}}{4} ◯
C) \frac{14 \pi}{3} ◯
d) 8 \pi(\sqrt{2}+2) ◯
e) Nenhuma das Respostas ◯
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} z^{2}\,dS
onde S é a área total do cone determinado por
\sqrt{x^{2}+y^{2}}\le z \le 2.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A superfície geradora do cone é dada por z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (cone com abertura de 45^\circ em relação ao eixo z).
O cone vai do vértice na origem até a “base” plana no plano z=2.
No plano z=2 o raio da base é \;r=2 (porque z=r\Rightarrow r=2).
“Área total do cone” significa que devemos integrar sobre a superfície lateral mais a base circular em z=2.
Passo 2
Estratégia de solução (por que vamos fazer assim): vamos decompor S em duas partes disjuntas e calcular a integral sobre cada uma:
S_L = superfície lateral do cone: z=r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, com 0\le r\le 2, 0\le\theta<2\pi.
S_B = base circular plana no plano z=2, com raio 2.
Justificativa: é natural parametrizar separadamente a parte lateral (superfície inclinada) e a base (superfície plana), porque as fórmulas para o elemento de área dS são simples em cada caso. Vamos calcular
Portanto a contribuição da superfície lateral é \;8\pi\sqrt{2}.
Passo 5
Cálculo da integral sobre a base plana S_B (disco em z=2 de raio 2).
Na base z=2 o integrando z^{2}=4 é constante. A área elementar da placa no plano é dS=dA e em coordenadas polares dA=r\,dr\,d\theta com 0\le r\le 2,\;0\le\theta<2\pi.