Questão 2

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Calcule o fluxo do campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=(-y, x,-z) sobre a esfera unitária S dada por x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, orientada para baixo.
Escolha uma opção:
◯ a. Nenhuma das Respostas
◯ b. 2
◯ C. \frac{2 \pi}{3}
◯ d. \frac{4 \pi}{3}
◯ e. \frac{\sqrt{2}-1}{4}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o fluxo do campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=(-y,\;x,\;-z) sobre a esfera unitária x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, com a superfície S “orientada para baixo”. Informações dadas e objetivo claro:
  • Campo vetorial: \vec{F}(x,y,z)=(-y,\;x,\;-z).
  • Superfície: esfera unitária S:\;x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
  • Orientação indicada: “orientada para baixo” (vamos discutir a interpretação desta orientação nos próximos passos).
  • Pedido: calcular o fluxo \displaystyle \iint_{S} \vec{F}\cdot \vec{n}\,dS, onde \vec{n} é o versor normal escolhida de acordo com a orientação.

Passo 2

Escolha do método e interpretação da orientação. Como S é uma superfície fechada (esfera), o método mais simples é usar o Teorema da Divergência (Gauss), que transforma o fluxo sobre S em uma integral de volume sobre a bola interior V. Vou explicar o teorema e também a questão da orientação: o Teorema da Divergência afirma que, se \vec{n} for o versor normal externo (orientação para fora), então
\iint_{S} \vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iiint_{V} \nabla\cdot\vec{F}\,dV.
Se a orientação for a oposta (normal para dentro), o resultado troca de sinal. O enunciado diz “orientada para baixo”, que é ambíguo para uma esfera fechada (normal “para baixo” não é um campo normal contínuo típico). A interpretação mais natural para um problema típico é que pedem a orientação para dentro (ou seja, a normal apontando para o centro), pois isso produz uma resposta positiva presente nas alternativas. Vou adotar essa interpretação (orientação para dentro). Se a orientação fosse a externa, basta multiplicar o resultado por -1.

Passo 3

Calcular a divergência do campo. A divergência de um campo \vec{F}=(F_1,F_2,F_3) é definida por \nabla\cdot\vec{F}=\dfrac{\partial F_1}{\partial x}+\dfrac{\partial F_2}{\partial y}+\dfrac{\partial F_3}{\partial z}. Aplicando ao nosso campo:
F_1(x,y,z)=-y,\qquad F_2(x,y,z)=x,\qquad F_3(x,y,z)=-z.
Portanto
\nabla\cdot\vec{F} = \frac{\partial (-y)}{\partial x} + \frac{\partial (x)}{\partial y} + \frac{\partial (-z)}{\partial z} = 0 + 0 -1 = -1.
Interpretação: em todo ponto do espaço a divergência é a constante -1.

Passo 4

Aplicar o Teorema da Divergência para a orientação externa primeiro. Para a bola unitária V (região interior de S),
\iint_{S}^{\text{(externa)}} \vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iiint_{V} \nabla\cdot\vec{F}\,dV = \iiint_{V} (-1)\,dV = -\operatorname{Vol}(V).
O volume da bola de raio 1 é \operatorname{Vol}(V)=\dfrac{4\pi}{3}. Logo a integral com normal externa é
\iint_{S}^{\text{(externa)}} \vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = -\frac{4\pi}{3}.

Passo 5

Relacionar com a orientação pedida. Inverter a orientação (usar normal para dentro) muda o sinal do fluxo. Assim, para a orientação para dentro (que estou adotando como interpretação de “orientada para baixo”):
\iint_{S}^{\text{(interna)}} \vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = -\left(\iint_{S}^{\text{(externa)}} \vec{F}\cdot\vec{n}\,dS\right) = -\left(-\frac{4\pi}{3}\right) = \frac{4\pi}{3}.
Portanto, sob a interpretação de orientação para dentro (normal apontando para o centro), o fluxo é \dfrac{4\pi}{3}. Se alguém interpretasse “orientada para baixo” como a normal externa, o fluxo seria -\dfrac{4\pi}{3}, que não aparece entre as alternativas positivas dadas (nesta prova a alternativa correspondente é a positiva \dfrac{4\pi}{3}).

Resposta

\displaystyle \frac{4\pi}{3}

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