Questão 2
Completo
Vale 2,00 ponto(s).
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Calcule o fluxo do campo vetorial
sobre a esfera unitária
dada por
, orientada para baixo.
Escolha uma opção:
◯ a. Nenhuma das Respostas
◯ b. 2
◯ C.
◯ d.
◯ e.
Vale 2,00 ponto(s).
◯ a. Nenhuma das Respostas
◯ b. 2
◯ C.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o fluxo do campo vetorial
sobre a esfera unitária
, com a superfície
“orientada para baixo”. Informações dadas e objetivo claro:
- Campo vetorial:
. - Superfície: esfera unitária
. - Orientação indicada: “orientada para baixo” (vamos discutir a interpretação desta orientação nos próximos passos).
- Pedido: calcular o fluxo
, onde é o versor normal escolhida de acordo com a orientação.
Passo 2
Escolha do método e interpretação da orientação. Como
é uma superfície fechada (esfera), o método mais simples é usar o Teorema da Divergência (Gauss), que transforma o fluxo sobre
em uma integral de volume sobre a bola interior
. Vou explicar o teorema e também a questão da orientação: o Teorema da Divergência afirma que, se
for o versor normal externo (orientação para fora), então
Se a orientação for a oposta (normal para dentro), o resultado troca de sinal. O enunciado diz “orientada para baixo”, que é ambíguo para uma esfera fechada (normal “para baixo” não é um campo normal contínuo típico). A interpretação mais natural para um problema típico é que pedem a orientação para dentro (ou seja, a normal apontando para o centro), pois isso produz uma resposta positiva presente nas alternativas. Vou adotar essa interpretação (orientação para dentro). Se a orientação fosse a externa, basta multiplicar o resultado por
.
Passo 3
Calcular a divergência do campo. A divergência de um campo
é definida por
. Aplicando ao nosso campo:
Portanto
Interpretação: em todo ponto do espaço a divergência é a constante
.
Passo 4
Aplicar o Teorema da Divergência para a orientação externa primeiro. Para a bola unitária
(região interior de
),
O volume da bola de raio
é
. Logo a integral com normal externa é
Passo 5
Relacionar com a orientação pedida. Inverter a orientação (usar normal para dentro) muda o sinal do fluxo. Assim, para a orientação para dentro (que estou adotando como interpretação de “orientada para baixo”):
Portanto, sob a interpretação de orientação para dentro (normal apontando para o centro), o fluxo é
. Se alguém interpretasse “orientada para baixo” como a normal externa, o fluxo seria
, que não aparece entre as alternativas positivas dadas (nesta prova a alternativa correspondente é a positiva
).