Sejam a uma constante e \mathrm{f}(\mathrm{x})=a \mathrm{x}^{4}-(a-1) \mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{x}+1 uma função polinomial, onde x é uma variável pertencente ao conjunto dos números reais. Divida o polinômio \mathrm{f}(\mathrm{x}) por (\mathrm{x}+1), apresentando todas as contas, e obtenha a seguinte fatoração \mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}+1)\left(a \mathrm{x}^{3}-a \mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}+1\right).
(2.0 pontos)

Passo 1

O enunciado pede que eu divida o polinômio f(x)=a x^{4}-(a-1) x^{2}+2 x+1 por (x+1), mostrando todas as contas, e que eu obtenha a fatoração
f(x)=(x+1)\bigl(a x^{3}-a x^{2}+x+1\bigr).
Informações fornecidas:
\text{constante }a,\qquad f(x)=a x^{4}-(a-1) x^{2}+2 x+1,\qquad x\in\mathbb{R}.
O que se pede explicitamente: realizar a divisão polinomial por (x+1) e mostrar as contas que comprovam a fatoração acima.

Passo 2

Vou usar a divisão por raiz (também chamada de divisão de Ruffini / sintética), porque o divisor é linear da forma (x - r). Aqui (x+1) corresponde a r=-1. Explico o procedimento de forma didática:
  • Pegamos os coeficientes do polinômio f(x) em ordem decrescente de grau, preenchendo com zero quando faltar um termo.
  • Aplicamos o algoritmo sintético: trazemos o primeiro coeficiente para baixo, multiplicamos por r e somamos ao próximo coeficiente; repetimos até obter os coeficientes do quociente e o resto.
  • Se o resto for zero, (x-r) é um fator e a multiplicação do divisor pelo quociente reproduz o polinômio original.
Vou listar os coeficientes de f(x). O polinômio tem grau 4, então os coeficientes (de x^{4} a x^{0}) são:
\underbrace{a}_{x^{4}},\quad \underbrace{0}_{x^{3}},\quad \underbrace{-(a-1)}_{x^{2}},\quad \underbrace{2}_{x^{1}},\quad \underbrace{1}_{x^{0}}.
Observação: -(a-1) pode ser reescrito como -a+1; usarei essa forma quando for somar.

Passo 3

Agora aplico a divisão sintética com r=-1. Vou mostrar cada operação (trazer, multiplicar, somar):
Começo com a linha dos coeficientes:
a\quad 0\quad -a+1\quad 2\quad 1
  1. Trago o primeiro coeficiente para baixo: a. Esse será o coeficiente do termo x^{3} do quociente.
  • Multiplico por r=-1: (-1)\cdot a = -a.
  • Somo ao próximo coeficiente: 0 + (-a) = -a.
  1. O valor obtido -a é o próximo coeficiente do quociente (coeficiente de x^{2}).
  • Multiplico por r=-1: (-1)\cdot(-a)=a.
  • Somo ao próximo coeficiente: (-a+1)+a = 1.
  1. O valor 1 é o coeficiente do quociente correspondente a x^{1}.
  • Multiplico por r=-1: (-1)\cdot 1 = -1.
  • Somo ao próximo coeficiente: 2 + (-1) = 1.
  1. O valor 1 é o coeficiente constante do quociente.
  • Multiplico por r=-1: (-1)\cdot 1 = -1.
  • Somo ao último coeficiente (termo independente): 1 + (-1) = 0.
Resumo das etapas em forma de lista de resultados:
\begin{array}{c|ccccc} \text{coeficientes} & a & 0 & -a+1 & 2 & 1\\hline \text{trazer} & & a & -a & 1 & 1\\\ \text{multiplicar por }-1 & & -a & a & -1 & -1\\\ \text{soma} & a & -a & 1 & 1 & 0 \end{array}
A última entrada 0 é o resto da divisão.

Passo 4

Interpretando o resultado: os coeficientes do quociente, de grau 3 a grau 0, são
a,\quad -a,\quad 1,\quad 1.
Portanto o quociente é
a x^{3}-a x^{2}+x+1.
O resto é 0, o que significa que (x+1) divide exatamente f(x).

Passo 5

Com o quociente e resto nulo, obtemos a fatoração
f(x)=(x+1)\bigl(a x^{3}-a x^{2}+x+1\bigr).
Para verificar que essa fatoração reproduz f(x), faço a multiplicação (expansão) e mostro que volta ao polinômio original:
(x+1)\bigl(a x^{3}-a x^{2}+x+1\bigr)
= x\bigl(a x^{3}-a x^{2}+x+1\bigr) + 1\cdot\bigl(a x^{3}-a x^{2}+x+1\bigr)
= a x^{4}-a x^{3}+x^{2}+x + a x^{3}-a x^{2}+x+1
Agora somo termos semelhantes:
  • Os termos em x^{3}: -a x^{3} + a x^{3} = 0.
  • Os termos em x^{2}: x^{2} - a x^{2} = (1-a)x^{2}, que é igual a -(a-1)x^{2}.
  • Os termos em x: x + x = 2x.
  • Termo constante: 1.
Portanto a expansão dá
a x^{4} - (a-1) x^{2} + 2x + 1,
que é exatamente f(x). A verificação confirma que a divisão e a fatoração estão corretas.

Resposta

f(x)=(x+1)\bigl(a x^{3}-a x^{2}+x+1\bigr)

Exercícios relacionados