Sejam a uma constante e \mathrm{f}(\mathrm{x})=a \mathrm{x}^{4}-(a-1) \mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{x}+1 uma função polinomial, onde x é uma variável pertencente ao conjunto dos números reais. Divida o polinômio \mathrm{f}(\mathrm{x}) por (\mathrm{x}+1), apresentando todas as contas, e obtenha a seguinte fatoração \mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}+1)\left(a \mathrm{x}^{3}-a \mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}+1\right).
(2.0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede que eu divida o polinômio f(x)=a x^{4}-(a-1) x^{2}+2 x+1 por (x+1), mostrando todas as contas, e que eu obtenha a fatoração
O que se pede explicitamente: realizar a divisão polinomial por (x+1) e mostrar as contas que comprovam a fatoração acima.
Passo 2
Vou usar a divisão por raiz (também chamada de divisão de Ruffini / sintética), porque o divisor é linear da forma (x - r). Aqui (x+1) corresponde a r=-1. Explico o procedimento de forma didática:
Pegamos os coeficientes do polinômio f(x) em ordem decrescente de grau, preenchendo com zero quando faltar um termo.
Aplicamos o algoritmo sintético: trazemos o primeiro coeficiente para baixo, multiplicamos por r e somamos ao próximo coeficiente; repetimos até obter os coeficientes do quociente e o resto.
Se o resto for zero, (x-r) é um fator e a multiplicação do divisor pelo quociente reproduz o polinômio original.
Vou listar os coeficientes de f(x). O polinômio tem grau 4, então os coeficientes (de x^{4} a x^{0}) são: