Calcule a integral de superfície
\iint_{S} z d S
onde S é a superfície definida pelo plano z=4-x-y no primeiro octante, para x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} z\, dS
onde S é a porção do plano z=4-x-y que está no primeiro octante, isto é, com x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0. Informações relevantes dadas:
  • A superfície é o gráfico da função z=f(x,y)=4-x-y.
  • A condição z\ge 0 implica que a projeção da superfície no plano xy é a região triangular
R=\{(x,y)\mid x\ge 0,\;y\ge 0,\;x+y\le 4\}.
O que se pede: calcular o valor numérico da integral de superfície \iint_{S} z\, dS.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explanação didática).
Para uma superfície dada como gráfico de uma função z=f(x,y), o elemento de área da superfície dS pode ser expresso em termos do elemento de área do plano xy (denotado dA) por
dS=\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}}\, dA.
Explicando: \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} são as derivadas parciais de f em relação a x e y. Elas medem a inclinação da superfície nas direções x e y. A raiz quadrada aparece porque dS é a norma do vetor normal relacionado ao mapa identidade (x,y)\mapsto(x,y,f(x,y)). Assim a integral de superfície de uma função escalar g(x,y,z) sobre S vira uma integral dupla sobre R:
\iint_{S} g(x,y,z)\, dS = \iint_{R} g\bigl(x,y,f(x,y)\bigr)\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\, dA,
onde f_x=\frac{\partial f}{\partial x} e f_y=\frac{\partial f}{\partial y}.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema: f(x,y)=4-x-y. Calcular as derivadas parciais:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}(4-x-y)=-1, \qquad f_y=\frac{\partial}{\partial y}(4-x-y)=-1.
Portanto
1+f_x^2+f_y^2 = 1+(-1)^2+(-1)^2 = 1+1+1 = 3.
Assim a raiz é constante:
\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}=\sqrt{3}.

Passo 4

Montando a integral dupla sobre a região R. A integral de superfície pedida vira
\iint_{S} z\, dS = \iint_{R} f(x,y)\sqrt{3}\, dA = \sqrt{3}\iint_{R} (4-x-y)\, dA.
Agora precisamos calcular \iint_{R} (4-x-y)\, dA com R=\{0\le x\le 4,\;0\le y\le 4-x\}. Vamos usar integração iterada com x de 0 a 4 e y de 0 a 4-x:
\iint_{R} (4-x-y)\, dA = \int_{x=0}^{4}\left(\int_{y=0}^{4-x} (4-x-y)\, dy\right) dx.

Passo 5

Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{4-x} (4-x-y)\, dy.
Fazendo a primitiva em y:
\int (4-x-y)\, dy = (4-x)y - \frac{y^{2}}{2}.
Avaliaremos entre y=0 e y=4-x:
\left[(4-x)y - \frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{4-x} = (4-x)(4-x) - \frac{(4-x)^{2}}{2} = \frac{(4-x)^{2}}{2}.
Logo a integral dupla fica
\iint_{R} (4-x-y)\, dA = \int_{0}^{4} \frac{(4-x)^{2}}{2}\, dx.

Passo 6

Calcular a integral em x:
\int_{0}^{4} \frac{(4-x)^{2}}{2}\, dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{4} (4-x)^{2}\, dx.
Fazer a substituição direta u=4-x (ou notar simetria): quando x=0 tem u=4 e quando x=4 tem u=0. Então
\int_{0}^{4} (4-x)^{2}\, dx = \int_{4}^{0} u^{2}(-du) = \int_{0}^{4} u^{2}\, du = \left.\frac{u^{3}}{3}\right|_{0}^{4} = \frac{64}{3}.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} obtemos
\iint_{R} (4-x-y)\, dA = \frac{1}{2}\cdot\frac{64}{3} = \frac{32}{3}.

Passo 7

Voltando ao fator \sqrt{3} que estava fora da integral:
\iint_{S} z\, dS = \sqrt{3}\cdot \frac{32}{3} = \frac{32\sqrt{3}}{3}.

Resposta

\dfrac{32\sqrt{3}}{3}

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