onde S é a superfície definida pelo plano z=4-x-y no primeiro octante, para x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} z\, dS
onde S é a porção do plano z=4-x-y que está no primeiro octante, isto é, com x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0. Informações relevantes dadas:
A superfície é o gráfico da função z=f(x,y)=4-x-y.
A condição z\ge 0 implica que a projeção da superfície no plano xy é a região triangular
R=\{(x,y)\mid x\ge 0,\;y\ge 0,\;x+y\le 4\}.
O que se pede: calcular o valor numérico da integral de superfície \iint_{S} z\, dS.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explanação didática).
Para uma superfície dada como gráfico de uma função z=f(x,y), o elemento de área da superfície dS pode ser expresso em termos do elemento de área do plano xy (denotado dA) por
dS=\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}}\, dA.
Explicando: \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} são as derivadas parciais de f em relação a x e y. Elas medem a inclinação da superfície nas direções x e y. A raiz quadrada aparece porque dS é a norma do vetor normal relacionado ao mapa identidade (x,y)\mapsto(x,y,f(x,y)). Assim a integral de superfície de uma função escalar g(x,y,z) sobre S vira uma integral dupla sobre R:
\iint_{S} g(x,y,z)\, dS = \iint_{R} g\bigl(x,y,f(x,y)\bigr)\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\, dA,
onde f_x=\frac{\partial f}{\partial x} e f_y=\frac{\partial f}{\partial y}.
Passo 3
Aplicando ao nosso problema: f(x,y)=4-x-y. Calcular as derivadas parciais: